最后更新: 2025-07-26 23:08 查看: 676 次反馈同步训练

牛顿一莱布尼兹公式

## 牛顿一莱布尼兹公式
若函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数, 则

$$
\boxed{
\quad \int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_a ^b=F(b)-F(a)
}
$$

此公式称作**微积分基本定理**，也称作牛顿一莱布尼兹公式。

**证明**：已知 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) d t$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数, 参考上一节[变限积分的介绍](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=328)  故 $F(x)-\Phi(x)=C$, 即 $F(x)-\int_a^x f(t) d t=C$, 令 $x=a$, 则 $F(a)=C$, 即

$$
\int_a^x f(t) d t=F(x)-F(a)
$$

同理, 令 $x=b$, 则有 $\int_a^b f(t) d t=F(b)-F(a)$.
这个公式揭示了不定积分与定积分之间的关系. 由于我们已经熟悉了不定积分的计算方法，因此，利用该公式计算定积分将会大大降低计算定积分的难度。由于它的重要性, 故也称其为微积分基本定理.

> 牛顿一莱布尼兹公式通俗解释：**他把曲线$f(x)$围成的面积转换为了通过原函数$F(x)$两头端点的计算，然后相减得到，而与曲线中间形状无关**。

![图片](/uploads/2025-07/255f89.jpg)

作为类比，牛顿-莱布尼兹公式很像高中学的**重力作用**，想象一下，一个小球从$A$下落到$B$，不论是自由落体下落，还是沿着斜面下落，或者沿着曲面下落，中间怎么走的不重要，重力做功的只与$A,B$的起始位置有关，而与中间路径无关，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/7fba5c.jpg){width=500px}

同样，使用牛顿-莱布尼兹计算定积分，至于原函数的起始点有关，而与中间的过程无关，因此，他简化了定积分的计算。

**和此对应的，后面会学 格林公式、[高斯公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=433)，和斯托克斯公式公式，这四大公式组成了微积分的四大支柱。**

## 例题
`例` 求定积分 $\int_0^1 e ^x d x$.

解 $e ^x$ 是 $e ^x$ 的一个原函数, 由牛顿-莱布尼茨公式得

$$
\int_0^1 e^x d x=\left.e^x\right|_0 ^1=e^1-e^0=e-1
$$

注 上一节我们曾经用定积分的定义求过此积分的值, 很明显, 用牛顿-莱布尼兹公式计算简便的多.

`例` 求 $\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} d x$.

解 当 $x<0$ 时, $\frac{1}{x}$ 的一个原函数是 $\ln |x|$,

$$
\left.\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} d x=\ln \right\rvert\, x \|_{-2}^{-1}=\ln 1-\ln 2=-\ln 2 .
$$

`例` 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & 0 \leq x \leq 1 \\ 5 & 1<x \leq 2\end{array}\right.$, 求 $\int_0^2 f(x) d x$.

解 如图 3-14 所示，在 [1,2] 上规定：当 $x=1$ 时， $f(x)=5$, 则由定积分性质得

$$
\int_0^2 f(x) d x=\int_0^1 f(x) d x+\int_1^2 f(x) d x=\int_0^1 2 x d x+\int_1^2 5 d x=6
$$
 ![图片](/uploads/2024-10/e47185.jpg)
 
 
`例` 计算 $\int_0^1|2 x-1| d x$.

解 因为 $|2 x-1|=\left\{\begin{array}{ll}1-2 x, & x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x-1, & x>\frac{1}{2}\end{array}\right.$ (图 3-15),

所以

$$
\int_0^1|2 x-1| d x=\int_1^{\frac{1}{2}}(1-2 x) d x+\int_{\frac{1}{2}}^1(2 x-1) d x=\left.\left(x-x^2\right)\right|_0 ^{\frac{1}{2}}+\left.\left(x^2-x\right)\right|_{\frac{1}{2}} ^1=\frac{1}{2}
$$
 ![图片](/uploads/2024-10/134504.jpg)

`例` 验证

$$
F(x)=\frac{1}{2} e^x(\sin x-\cos x)
$$

是 $f(x)= e ^x \sin x$ 的一个原函数，并计算定积分 $\int_0^1 e ^x \sin x d x$ ．
解 事实上，我们有

$$
F^{\prime}(x)=\frac{1}{2} e^x(\sin x-\cos x)+\frac{1}{2} e^x(\cos x+\sin x)=e^x \sin x .
$$

可见，$F(x)$ 是 $f(x)= e ^x \sin x$ 的一个原函数．于是我们无须处理前述的复杂的极限而得到

$$
\int_0^1 e^x \sin x d x=F(1)-F(0)=\frac{e}{2}(\sin 1-\cos 1)+\frac{1}{2}
$$

当然在这个例子中是在已知 $e ^x \sin x$ 的原函数 $F(x)$ 的条件下求得定积分的值的．

`例` 由微积分基本定理不难验证下列

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