最后更新: 2025-10-30 19:55 查看: 638 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

梯度★★★★★

##  为什么要引入梯度
> 想象你是高考数学命题老师，对于满分是100分的试卷，你是希望考生都考60分好还是希望考生都考90分好？其实，不管是60分还是90分都不好，为什么,因为高考作为选拔性考生，最主要的是要有**区分度**。都是60分表示试卷太难，都是90分表示试卷太容易了，这两种没有区分度。事有人说，最好的比例是 3:5:2， 即 30%的人分数在65-75分， 50%的人的分数在75-85分，20%的人的分数在85-95分。总之，一份好的试卷必须要有区分度。通过这里可以看到，抛去绝对分数，我们更关心“**分数差**”，这种差可以认为是引入梯度的原因。 关于梯度的作用详见 [梯度为什么是下降最快的方向](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2648)

## 梯度的作用

假设有一个数量函数
$$
f(x,y,z)=x^2+y^2-z  ...(1)
$$

你可以把这个函数想象为空间里温度的表达式，给定一个点坐标，将对应该点的温度值，例如取
$f(1,1,1)=1^2+1^2-1=1$ 表示在坐标为 $(1,1,1)$的位置温度为1度，
$f(0,0,0)=0^2+0^2-0=0$ 表示在坐标为 $(0,0,0)$的位置温度为0度，以此类推。

![图片](/uploads/2025-04/e29d00.jpg){width=400px}
 **上图显示空间里每一点温度的组成图像（示意图）**
 
但是，我们知道当温度存在温度差时，温度会从高温向低温流动，所以，**我们更关心温度变化的的方向**。

为此，我们对$f(x,y,z)$ 求偏导得到 $f'(x,y,z)=(2x,2z,-1)$ ，写成向量函数就是：

$$
\vec{F}(x, y, z)=<2 x, 2 y, 1>  ...(2)
$$

这样，每给一个点坐标，就有一个向量函数值。例如取$x=1,y=1,z=1$
得$F_{(1,1,1)}=<2,2,-1>$ ， 这样我们就可以求得函数的每一点的温度变化量，利用计算机可以模拟（2）式中向量场的**三维空间向量场**图像如下：
 
 ![图片](/uploads/2025-01/96c9f5.jpg){width=400px}
**上图中显示空间中每一点温度变化的大小与方向（示意图）**。

### 向量投影
有时候，为了研究的方便，我们通常使用二维平面进行研究向量场，常用的就是从上往下观察向量空间，用数学语言描述就是 令$z=0$，让其投影到 $XOY$ 平面上，即
$$
\vec{F}(x, y, z)=<2 x, 2 y, 0> ...(3)
$$

从投影向量里，可以看到，越靠近中心向量场越稀疏(表示中心温差变化小)，越靠近外面，向量场稠密（表示周围温差变化大）。所以，向量场的作用很大。

通过梯度，就可以了解整个**温度变化的趋势**，这就是梯度的作用。
 ![图片](/uploads/2025-01/ea80f1.jpg){width=400px}

##  数量场转为向量场
对于数量场 $f=f(x,y,z)$ ，分别对$x,y,z$ 求偏导，这样得到三个分量，这3个分量可以组成一个向量，称为数量场$f$生成的对应向量场

如果向量场用$\boldsymbol{R}$ 表示，则
$\boldsymbol{R}= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) $ 。

上面的记发过于麻烦，为此我们引入一个记法：$grad$ 用他来表示梯度。即
$$
\operatorname{grad} f= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

上面的的记法还是过于麻烦，为此引入一个简写：$\nabla$ 算子。

$$
\nabla f=\operatorname{grad} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

> 看到 $\nabla$ 就表示他是对各个分量求偏导

通过上面可以看懂，通过梯度，可以把数量场转换为向量场。

## 方向导数与梯度的区别
方向导数是一个数，当你指的方向不同这个数不同。而梯度是一个向量，他同时指明了方向和大小。

比如假设你以$3m/s$ 向东行走，如果以东为正向，你的速度就是 $+3m/s$， 如果以西为正向，你的速度就是$-3m/s$， 如果你以南或者北为正向，你的速度就是 $0m/s$ ，可见，你指向的方向不同，得到的速度也不同。

但是，很多时候我们希望的方向并不容易确定。想象一下，你在山上，你要下山，你会怎么走？自然是沿着下山坡速度最快的方向走。  **梯度则指明了速度变化最大值域方向（梯度是一个向量，含有大小和方向）**。毫无以疑问，我们感兴趣的往往是变化最大的量，因此梯度使用度更高。

![图片](/uploads/2025-01/c24f06.svg){width=400px}

### 方向导数和梯度的关系
上面说过，方向导出是可以沿着任何方向，而梯度是一个向量，同时包含了方向和大小，如果我们**以梯度方向作为基**准，来研究方向导数，就会有下面结论，（仍以下山为例），

①如果我指定方向导数方向和梯度方向一致，则下山速度最快，此时方向导数和梯度向量的夹角为0。

②如果我指定的方向导数为梯度方向相反，则下山速度最慢，此时方向导数和梯度向量的夹角为$\pi$

③如果我指定方向导数方向和梯度方向垂直，则速度为零，此时方向导数和梯度向量的夹角为$\pi/2$

`例` 设 $f(x, y)=x^2+y^2$ ，求 $f$ 在 $P_0(1,1)$ 以及  $P_1(1,2)$ 的梯度 
解 由于 $f_x=2x$ ,$f_y=2y$， 所以 在 $P_0(1,1)$ 以及  $P_1(1,2)$ 的梯度分别为 
$ \operatorname{grad}  f (P_0)=(2,2)$
$ \operatorname{grad}  f (P_1)=(2,4)$
 
 
  
如果我们画出上图的空间图像，可以看到，他是一个三维的，那得到一个二维向量$(2,2)$ 和 $(2,4)$ 到底什么意思呢？
 ![图片](/uploads/2025-10/494413.jpg)
这里就要引入另外一个概念， [等值线](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2680)

## 梯度与等值线(也叫等位线、等高线)的关系

这里有一个结论：**梯度就是等位线上点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的法向量 $\boldsymbol{n}$ ，且指向 $f(x, y)$ 增大的方向．梯度指向上坡**

![图片](/uploads/2025-10/4fc4fd.jpg)

简单解释如下：
（1）$z=x^2+y^2$ 三维图像如上图中间图形。
（2）使用水平平面切割图像，然后往$XOY$投影，形成等位线，参考上图左边图形。
（3）在本题里，等位线是一圈圈圆，参考上图右图
（4）现在难点来了，假设用 $z=1$平面进行切割，此时投影到$XOY$的函数就是$x^2+y^2=1$， 现在我们跳脱立体空间，
回到一元函数来观察 $x^2+y^2=1$，一元函数都是$y=f(x)$形式，所以，这个函数就是$y=\pm \sqrt{1-x^2}$
而$x^2+y^2=1$表示以原点为圆心，半径为1的圆。 在例1里找到在点$(1,1)$的梯度为$(2,2)$, 也就是在上图$45^{\circ}$ 方向。而在$(1,2)$ 是的梯度方向是沿着 $(2,4)$向量方向
（5）现在把$z=x^2+y^2$想象为空间里某一点的温度（因为这里使用下山比喻并不恰当），因为每一点温度都不一样，温度将从高温流向低温，在图中有一点A（上图中图），我们可以通过投影找到$A'$,$A'$告诉我们，温度沿着A'方向，温度变化最快。

（6）从上图还可以看到，梯度方向和圆的切线方程垂直，这不是偶然的，可以证明，梯度方向始终和等位线的切线方向垂直。具体证明参考下视频。

视频来源 [一高数](https://www.bilibili.com/video/BV1vZfKYeEii/?vd_source=ce36ec6d3df912c631a78d26e9e63ed8)

### 同济版解释
上面这个意义，同济版高等数学V8 P104页是这么解释的：
我们知道，一般说来二元函数 $z=f(x, y)$ 在几何上表示一个曲面，这曲面被平面 $z=c$（ $c$ 是常数）所截得的曲线 $L$ 的方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
z=f(x, y), \\
z=c .
\end{array}\right.
$$

这条曲线 $L$ 在 $x O y$ 面上的投影是一条平面曲线 $L^*$（图9－10），它在 $x O y$ 平面直角坐标系中的方程为

$$
f(x, y)=c .
$$

对于曲线 $L^*$ 上的一切点，已给函数的函数值都是 $c$ ，所以我们称平面曲线 $L^*$ 为函数 $z=f(x, y)$ 的等值线．

若 $f_x, f_y$ 不同时为零，则等值线 $f(x, y)=c$ 上任一点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处的一个单位法向量为

$$
\boldsymbol{n}=\frac{1}{\sqrt{f_x^2\left(x_0, y_0\right)+f_y^2\left(x_0, y_0\right)}}\left(f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)\right)=\frac{\nabla f\left(x_0, y_0\right)}{\left|\nabla f\left(x_0, y_0\right)\right|} .
$$

![图片](/uploads/2025-10/8fbaf9.jpg)
 
这表明函数 $f(x, y)

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