最后更新: 2025-04-11 15:29 查看: 96 次反馈同步训练

梯度的作用

## 梯度，数量场转为向量场
对于数量场 $f=f(x,y,z)$ ，分别对$x,y,z$ 求偏导，这样得到三个分量，这3个分量可以组成一个向量，称为数量场$f$生成的对应向量场

如果向量场用$\boldsymbol{R}$ 表示，则
$\boldsymbol{R}= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) $ 。

上面的记发过于麻烦，为此我们引入一个记法：$grad$ 用他来表示梯度。即
$$
\operatorname{grad} f= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

上面的的记法还是过于麻烦，为此引入一个简写：$\nabla$ 算子。

$$
\nabla f=\operatorname{grad} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

> 看到 $\nabla$ 就表示他是对各个分量求偏导

通过上面可以看懂，通过梯度，可以把数量场转换为向量场，那么如何理解这句话的意思呢？

## 梯度的作用

假设有一个数量函数
$$
f(x,y,z)=x^2+y^2-z  ...(1)
$$

你可以把这个函数想象为空间里温度的表达式，给定一个点坐标，将对应该点的温度值，例如取
$f(1,1,1)=1^2+1^2-1=1$ 表示在坐标为 $(1,1,1)$的位置温度为1度，
$f(0,0,0)=0^2+0^2-0=0$ 表示在坐标为 $(0,0,0)$的位置温度为0度，以此类推。

![图片](/uploads/2025-04/e29d00.jpg){width=400px}
 
但是，我们知道当温度存在温度差时，温度会从高温向低温流动，所以，**我们更关心温度变化的的方向**。

为此，我们对$f(x,y,z)$ 求偏导得到 $f'(x,y,z)=(2x,2z,-1)$ ，写成向量函数就是：

$$
\vec{F}(x, y, z)=<2 x, 2 y, 0>  ...(2)
$$

这样，每给一个点坐标，就有一个向量函数值。例如取$x=1,y=1,z=1$
得$F_{(1,1,1)}=<2,2,-1>$ ，连接$(0,0,0)$ 和 $(2,2,-1)$ 两点, 这个向量的方向就是温度变化的方向。(1)叫做势场，（2）叫做该势场的向量场。向量有一个性质：长度相等方向相同的向量是相等向量，所以，我们把坐标在原点的向量平移到导数点的位置，即可求得函数的每一点的向量图，利用计算机可以模拟（2）式

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