最后更新: 2025-04-08 14:20 查看: 303 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

等值线

## 等值线的概念
二元函数 $z=f(x, y)$ 的等值线（或水平线）是 $x O y$ 平面上由方程

$$
f(x, y)=c(c \text { 为常数 })
$$

所表示的平面曲线．严格地说，它是 $x O y$ 平面上使函数 $z=f(x, y)$ 取相同函数值 $c$ 的点 $(x, y)$ 所构成的集合，通常情况下，是一条平面曲线．当 $c$ 取不同值时，由于函数 $f$ 的单值性，$f(x, y)$ 的不同等值线构成互不相交的平面曲线族．

**将函数 $z=f(x, y)$ 的等值线族 $f(x, y)=c$ 中不同等值线提升（或降低）到相应的高度 $c$ ，就能得到该函数的大致图像（如图 ）**．因此，等值线也是用图形表示二元函数的一种方法．

![图片](/uploads/2025-04/f279cb.jpg){width=400px}

类似地，三元函数 $u=f(x, y, z)((x, y, z) \in V)$ 的等值面是空间 $O x y z$ 中由方程

$$
f(x, y, z)=c(c \text { 为常数 })
$$

所表示的曲面．当 $c$ 取不同值时，函数 $u=f(x, y, z)$ 的不同等值面构成一个空间互不相交的曲面族。由于三元函数的图像是凹维空间的点集

$$
\operatorname{Gr} f=\left\{(x, y, z, u) \in R ^4 \mid u=f(x, y, z),(x, y, z) \in V\right\}
$$

所以它不能用几何图形显示出来。但是，我们可以像用二维空间的图形（等值线 $f(x, y)=c)$ 来讨论二元函数图像那样，用等值面来讨论三元函数，揭示三元函数的某些性态。

## 等值线（面）的应用
$1^{\circ}$ 地图学中用等高线表示地形的高低及陡峭程度，气象学中川等温线表示各地温度的高低及温度变化的快慢情况，电学中用等位线表示电场中各处电位的高低及电位变化的快慢情况．
$2^{\circ}$ 用等值线（面）说明梯度的几何意义
设函数 $u=F(x, y, z)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处可微，则该函数在 $P_0$ 处的梯度 $\left.\nabla u\right|_{P_0}=\left(F_x\left(P_0\right), F_y\left(P_0\right), F_z\left(P_0\right)\right)$ 在几何上表示该函数的等值面 $F(x, y, z)=c$ 在点 $P_0$ 处的一个法向量．

事实上，由于等值面 $F(x, y, z)=c$ 在 $P_0$ 处的切平面和法线方程分别为

$$
\begin{aligned}
& F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(z-z_0\right)=0, \\
& \frac{x-x_0}{F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)},
\end{aligned}
$$

所以，$\left. n \right|_{P_0}=\left(F_x\left(P_0\right), F_y\left(P_0\right), F_z\left(P_0\right)\right)$ 就是等值面的一个法向量．由于三元函数 $u=F(x, y, z)$ 在 $P_0$ 的梯度 $\left.\nabla u\right|_{P_0}=\left(F_x\left(P_0\right), F_y\left(P_0\right), F_z\left(P_0\right)\right)=\left.n\right|_{P_0}$ ，故梯度 $\left.\nabla u\right|_{P_0}$ 表示该函数等值面在 $P_0$ 处的一个法向量．这就是说，梯度向量与等值面 ＂垂直＂且指向函数值增大最快的方向：沿梯度方向，函数 $u=F(x, y, z)$ 的值增大最快，沿梯度的反方向，函数 $u=F(x, y,

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