最后更新: 2025-04-08 14:20 查看: 262 次反馈同步训练

等值线

## 等值线的概念
二元函数 $z=f(x, y)$ 的等值线（或水平线）是 $x O y$ 平面上由方程

$$
f(x, y)=c(c \text { 为常数 })
$$

所表示的平面曲线．严格地说，它是 $x O y$ 平面上使函数 $z=f(x, y)$ 取相同函数值 $c$ 的点 $(x, y)$ 所构成的集合，通常情况下，是一条平面曲线．当 $c$ 取不同值时，由于函数 $f$ 的单值性，$f(x, y)$ 的不同等值线构成互不相交的平面曲线族．

**将函数 $z=f(x, y)$ 的等值线族 $f(x, y)=c$ 中不同等值线提升（或降低）到相应的高度 $c$ ，就能得到该函数的大致图像（如图 ）**．因此，等值线也是用图形表示二元函数的一种方法．

![图片](/uploads/2025-04/f279cb.jpg){width=400px}

类似地，三元函数 $u=f(x, y, z)((x, y, z) \in V)$ 的等值面是空间 $O x y z$ 中由方程

$$
f(x, y, z)=c(c \text { 为常数 })
$$

所表示的曲面．当 $c$ 取不同值时，函数 $u=f(x, y, z)$ 的不同等值面构成一个空间互不相交的曲面族。由于三元函数的图像是凹维空间的点集

$$
\operatorname{Gr} f=\left\{(x, y, z, u) \in R ^4 \mid u=f(x, y, z),(x, y, z) \in V\right\}
$$

所以它不能用几何图形显示出来。但是，我们可以像用二维空间的图形（等值线 $f(x, y)=c)$ 来讨论二元函数图像那样，用等值面来讨论三元函数，揭示三元函数的某些性态。

## 等值线（面）的应用
$1^{\circ}$ 地图学中用等高线表示地形的高低及陡峭程度，气象学中川等温线表示各地温度的高低及温度变化的快慢情况，电学中用等位线表示电场中各处电位的高低及电位变化的快慢情况．
$2^{\circ}$ 用等值线（面）说明梯度的几何意义
设函数 $u=F(x, y, z)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处可微，则该函数在 $P_0$ 处的梯度 $\left.\nabla u\right|_{P_0}=\left(F_x\left(P_0\right), F_y\left(P_0\right), F_z\left(P_0\right)\right)$ 在几何上表示该函数的等值面 $F(x, y, z)=c$ 在点 $P_0$ 处的一个法向量．

事实上，由于等值面 $F(x, y, z)=c$ 在 $P_0$ 处的切平面和法线方程分别为

$$
\begin{aligned}
& F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(z-z_0\right)=0, \\
& \frac{x-x_0}{F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)},
\end{aligned}
$$

所以，$\left. n \right|_{P_0}=\left(F_x\left(P_0\right), F_y\left(P_0\right), F_z\left(P_0\right)\right)$ 就是等值面的一个法向量．由于三元函数 $u=F(x, y, z)$ 在 $P_0$ 的梯度 $\left.\nabla u\right|_{P_0}=\left(F_x\left(P_0\right), F_y\left(P_0\right), F_z\left(P_0\right)\right)=\left.n\right|_{P_0}$ ，故梯度 $\left.\nabla u\right|_{P_0}$ 表示该函数等值面在 $P_0$ 处的一个法向量．这就是说，梯度向量与等值面 ＂垂直＂且指向函数值增大最快的方向：沿梯度方向，函数 $u=F(x, y, z)$ 的值增大最快，沿梯度的反方向，函数 $u=F(x, y, z)$ 的值减小最快．例如，在点电荷产生的空间静电场中，由于电位梯度 $\nabla u=- E ( E$ 表示电场强度），所以电力线与等位面垂直，方向与等位面法向量相反，电位沿电位梯度的反方向增加最快．

## 等值线通俗解释
想象一下，你在山上，怎么会下山？虽然下山的路径有无数条，但是你肯定会沿着下降速度最快的方向下山。

![图片](/uploads/2025-01/c24f06.svg){width=400px}

进一步的，如果用一个平面水平平面切割曲线，平面和曲线会有一个交线，这个交线叫做**等值线**(也叫等高线)。
在三维空间里，曲面方程为$z=f(x,y)$  而 水平平面方程为$z=c$(c为常数), 因此，由方程组即可求得**等值线方程**$L:f(x,y)=c$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
z=f(x,y) \\
z=c
\end{array}
\right.
$$
 
 下图显示了空间曲线$z=x e^{-5x^2-8 y^2}$ 的计算机模拟图像
 ![图片](/uploads/2025-04/627466.jpg){width=500px}
 
 其对应的等值线如下图
 
 ![图片](/uploads/2025-04/6d2447.jpg){width=500px}
 
 下图是对上面的动画描述
  ![图片](/uploads/2025-03/3.gif){width=600px}
 
这些等值线投影到水平面上，会形成一个个曲线。**可以证明速度方向的水平投影正是水平面上该点曲线的法向量。**

## 梯度是函数变换最快的方向
在[梯度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=391) 一节里，介绍了梯度方向表示函数变换最快的方向。关于梯度与方向导数的关系，我们有如下3个小结论：如果我们把你下山的速度方向定义为方向导数的方法，那么就有

（1）当 $\theta=0$ ，即方向导数 $e _l$ 与梯度 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)$ 的方向相同时，函数 $f(x, y)$ 增加最快．此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)$的模，即

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=\left|\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)\right|
$$

这个结果也表示：函数 $f(x, y)$ 在一点的梯度 $\operatorname{grad} f$ 是这样一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值．

（2）当 $\theta=\pi$ ，即方向 $e_l$ 与梯度 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)$ 的方向相反时，函数 $f(x, y)$ 减少最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值，即

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=-\left|\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)\right|
$$

（3）当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ ，即方向 $e _l$ 与梯度 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\righ

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：梯度的作用

下一篇：三种算子的性质与迭代

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)