最后更新: 2025-11-01 11:53 查看: 520 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

方向导数★★★★★

提示：在阅读本文前，需要熟悉[向量场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=392) 以及高中[向量知识](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=754)

##  方向导数
偏导数反映的是函数沿**坐标轴**方向的变化率，但在实际问题中，只考虑沿坐标轴方向的变化率是不够的. 例如，热空气要向冷的地方流动，气象学需要考虑大气温度、气压沿着某个方向的变化率，因此我们需要研究函数沿**任意指定方向**的变化率问题.

> 方向导数就是反映函数在一点处任意一条特定方向的变化率.

方向导数重点是“**方向**”二字。给的方向不同，得出的结论也不会相同，考虑一种最简单情况：小明沿着马路从西往东以 $1m/s$ 速度运行，如果我以向东为正，此时小明的速度为$+1m/s$ ，如果我以向西为正，小明的速度为$-1m/s$， 如果我以向南或者向北为正，那么小明的速度为$0m/s$ ，可以看到我指定的方向不同，小明具有不同的速度。

所以，在方向导数里，首先要确定“方向”。

## 如何确定方向导数的方向？
因为二元函数需要放在三维空间里认识，现在，假设在三维空间里有一个$f(x,y)$生成的二维曲面(如下图**绿色图形**)，
  ![图片](/uploads/2025-02/f62551.svg)

想象一下，像切西瓜一样任意切一刀(上图**灰蓝色平面**)，刀面与曲线有会产生一条切痕(上图**黄色曲线**)，这个切痕投影到$XOY$平面就是一条直线（上图**红色直线**）， 我们能够想象，如果我在$XOY$平面内转动红色直线，那么黄色的切痕也会跟着变动，因此切痕的投影就能确定方向导数的方向。

> 我们还发现一个现象， 参考上图，如果$OA$逆时针转到$x$轴，此时$\alpha$就是0，那么他其实就是对$x$的偏导数，
而如果$OA$顺时针转到$y$轴，此时$\alpha$就是$\pi/2$，他其实就是对$y$的偏导数

### 数学定义
现在把上面的说法转换为数学语言：在$XOY$平面上任取一点$P_0(x_0,y_0)$，由该点可以做出无数条射线，这些射线就可以决定方向导数的方向。

让我们以 $x O y$ 面上的 $\left(x_0, y_0\right)$ 点建立平面坐标系， $\boldsymbol{u}$ 为该坐标系中的向量，其与该坐标系中的两个坐标轴的夹角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，所以 $\boldsymbol{u}$ 在该坐标系中的单位方向向量可以表示为 $\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{u}}=\binom{\cos \alpha}{\cos \beta}$ ，如下图所示,这样，我们就确定了方向。

> 小提示：这里  $\alpha+\beta=\pi/2$ ，所以$cos \beta= sin  \alpha$ ，但是为了向三维空间推广，一般不使用$\sin \alpha$ ，后面推广到三维空间会是 $\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma $ 详见 [方向角与方向余弦](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=353)

![图片](/uploads/2025-09/ffc25c.jpg){width=500px}
 
方向导数其实包含了2个部分：方向和导数，既然方向有了，就可以定义导数，导数的定义可以把一元函数里的那种定义套用过来：

想象一下，你站在A点沿着$u$方向走了极小的距离$h$到$B$，假设走的距离是$t$

**因为距离是矢量，根据平行四边形法则，他可以分解为$x$轴距离和$y$轴距离，所以我们使用参数表示**，

即
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x_0+t \cos \alpha \\
y=y_0+t \cos \beta
\end{array}(t \geq 0)\right.
$$

![图片](/uploads/2025-09/1a0f63.jpg)

此时要牢记，你是在$XOY$走了一小段距离，那么函数值（也就是空间曲面）对应上面函数，函数值就会从$f(x_0,y_0)$ 变成$f(x_0+t cos \alpha, y_0+t cos \beta)$ 这样，我们就可以给出方向导数的定义

![图片](/uploads/2025-09/31e712.jpg)

## 二元方向导数定义
设 $z=f(x, y)$ 在一点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域内有定义，又设 $l$ 是给定的一个方向，其与$x$和$y$轴夹角为$\alpha, \beta$, 则其方向余弦为 $(\cos \alpha, \cos \beta)$ ．若极限

$$
\lim _{t \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \cos \beta\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{t}
$$

存在，则我们称此极限值为函数 $z=f(x, y)$ 在 $P_0$ 点沿方向 $l$ 的方向导数，记作 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 或 $\left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 。

现在，我们对方向导数的意义作进一步的解释．
过 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 点沿给定的方向 $l$ 作一条直线 $L$ ．这时，这条直线 $L$ 的参数方程为 ([参数方程教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1329))

$$
\begin{aligned}
& x=x_0+t \cos \alpha, \quad(-\infty<t<+\infty), \\
& y=y_0+t \cos \beta
\end{aligned} \quad 
$$

其中 $t$ 为参数．对任意的 $t$ ，相应的点 $\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \cos \beta\right)$ 记为 $P_t$ ，那么，上述定义中的极限便可写成

$$
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(P_t\right)-f\left(P_0\right)}{t}
$$

另外，我们应该注意到 $t$ 实际上是 $P_0$ 到 $P_t$ 的有向距离：当 $\overrightarrow{P_0 P_t}$ 与 $l$ 方向一致时，$t>0$ 并且 $P_0$ 到 $P_t$ 的距离就是 $t$ ；而当 $\overrightarrow{P_0 P_t}$ 与 $l$ 方向相反时，$t<0$并且 $P_0$ 到 $P_t$ 的距离是 $-t$（见下图）。

![图片](/uploads/2025-02/46260f.jpg){width=300px}
 
总之，我们看到定义中的极限实际上就是函数 $z=f(x, y)$ 沿着给定的方向 $l$ 的变化率．

> 方向导数是偏导数概念的推广．当 $\alpha=0$ ， $\beta=\frac{\pi}{2}$ 时，$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}$ ；而当 $\alpha=\frac{\pi}{2}, \beta=0$ 时，$\frac{\partial f}{\partial l}=$ 这从定义中看得十分清楚。

下面的定理给出了方向导数存在的一个充分条件及计算公式．

## 方向导数的计算

定理 若函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，则 $f(x, y)$ 在该点沿任一方向 $l$ 的方向导数均存在，且

$$
\boxed{
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta ...(5)
}
$$

其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 为 $l$ 的方向余弦。

上面这个定理告诉我们，在函数可微的条件下方向导数可以通

其他版本
【高等数学】方向角与方向角余弦【高等数学】通量【数学分析】方向导数和梯度【高等数学】通量与散度【高等数学】梯度【高等数学】斯托克斯公式、环流量与旋度【高中数学】空间向量平行于夹角【高等数学】散度【高等数学】旋度【高中数学】空间向量

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：切平面与法线方程★★★★★

下一篇：梯度★★★★★

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)