最后更新: 2025-10-12 15:57 查看: 82 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵可对角化 λ 的通俗解释

## 矩阵与对角形相似
在 [特征值的几何意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1393) 里说过，矩阵乘以一个向量，即$A \alpha$ 通常有两种理解：
（1）可以看成矩阵$A$作用在向量 $\alpha$ 上，这使得 $\alpha$  发生了旋转和缩放。
（2）把矩阵看成一个坐标系，$\alpha$是该坐标系里的一个向量。

在理解特征值与特征向量或矩阵相似时，有时候这2个概念会轮流切换。这个观点就像对物理中光的理解。物理课里，光有反射和衍射。当遇到反射时我们就用“粒子说”，把光子想象一个个小球进行理解。 当遇到干涉时，我们就使用“波动说”，把光子想象为波动，详见 [高中物理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=989)

> 对于矩阵和向量相乘(甚至矩阵和矩阵相乘)，为了方便理解，本站给出了上面两种理解方式，这种理解到底是不是最优的，需要读者自行判断，或者您也可以由自己独特的见解。事实上，在《线性代数》数学这门课上，仅从数学的角度，他是不考虑意义的，比如特征值，数学教材就直接定义$A \alpha= \lambda \alpha$ ,此时$\lambda$ 就称作特征值，然后使用特征多项式求解，就完了。就像最简单的数字“1”，1就是1,1+1=2没什么好解释的，然而，为了理解他，我们会说，你有1个苹果，又拿了1个苹果，那么一共有2个苹果。这种人为的给数学赋予实际意义在帮助理解的同时，也会差生不同的解读，所以，就矩阵相似，读者也可以自己思考有没有更好的理解意义。

> 矩阵相似有4层理解：
第一层： $A \sim B$ ，即矩阵$P^{-1}AP=B$
第二层： $A \sim \Lambda$ ，即矩阵$P^{-1}AP=\Lambda$
第三层： $A \sim \Lambda$ 且 $A=A^T$ ，即矩阵$A$是**对称矩阵**，此时他相似对角形。可以看到，第三层是在第二层的基础上，进一步要求提高对称矩阵
第四层：在第三层的基础上，如果又满足 $A^T A=E$ 则称呼为**正交变换**，即$A$是对称矩阵，他的行列式的值为$\pm 1$.

![图片](/uploads/2025-08/e74513.jpg){width=400px}

### 第一层：矩阵相似
$A$和$B$相似，这里的2个矩阵相当于2个参照物，或者更通俗的理解是2个小孩看一张图片，2个矩阵相当于2个小孩，在这种情况下要求最宽松。
 ![图片](/uploads/2025-09/34950c.jpg){width=400px}

### 第二层：矩阵和对角形相似
矩阵$A$和对角形$\Lambda$相似，相当于一个小孩可以找到一个“正面视角”查看图片。
 ![图片](/uploads/2025-09/85b8e0.jpg){width=400px}

### 第三层：对称矩阵和对角形相似
不是每个矩阵$A$都可以和对角形$\Lambda$相似，但是我们发现如果$A$是对称矩阵，则一定和对角形相似

![图片](/uploads/2025-09/1f6410.jpg){width=300px}
  
### 第四层：对称矩阵和正交矩阵相似

如果$A$是对称矩阵且$A$离物体的行列式的值为$1$或者$-1$，这种视角是最棒的，因为此时看图片不失真。我们把这种矩阵称作“正交矩阵”，使用正交矩阵进行的变换，叫做**正交变换**。

![图片](/uploads/2025-09/bc6bd2.jpg){width=400px}

> **为什么我们要花大力气找到正交变换？一句话：正交变换不改变图形的性质。**

在正交变换里，会有一个典型例题，详见 [正交变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=494)

一个空间里有2个向量，使用正交变换时，不改变着2个向量的夹角和长度，如下，

![图片](/uploads/2025-08/d6da94.jpg)

现在对上面进一步抽象，上面是2个向量，一个椭圆可以看成无数个向量组成的。假设有一个椭圆，在矩阵$A$表示下是斜椭圆，通过使用正交变换，就可以把他“扶正”，详见 [特征值与特征向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3186)

![图片](/uploads/2025-09/0e7565.jpg){width=400px}

## 哪些情况下矩阵可以对角化？
为方便理解，这里仅以三阶矩阵为例。

所谓矩阵可以对角化其实给你一个矩阵能找到一个“三维的空间直角坐标系”，这里的坐标单位分别是$a,b,c$ （如下示意）
矩阵可对角化包含了2个硬性要求：
（1）原矩阵可以张成三维空间。
（2）新张成的三维空间必须能够互相垂直。

$$ \Lambda=
\left[ 
\begin{array}{c}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & c
\end{array}
\right]
$$

### 情况一： 矩阵有3个线性无关的特征向量。
下面用例题进行了演示
`例` 设矩阵$A=\left(\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 1 \\0 & 2 & 0 \\-4 & 1 & 3\end{array}\right)$求他的特征与特征向量

解 ： 具体解法请参考 [矩阵对角化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=498) 里的例1。

我们已经求的 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$ ．
 
和对应的的特征向量

$$
\begin{aligned} 
& p _1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
,
& p_2=\left(\beg

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