最后更新: 2025-08-24 20:03 查看: 20 次反馈同步训练

矩阵可对角化的通俗解释

## 矩阵与对角形相似
在 [特征值的几何意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1393) 里说过，矩阵乘以一个向量，即$A \alpha$ 通常有两种理解：
（1）可以看成矩阵$A$作用在向量 $\alpha$ 上，这使得 $\alpha$  发生了旋转和缩放。
（2）把矩阵看成一个坐标系，$\alpha$是该坐标系里的一个向量。

在理解特征值与特征向量或矩阵相似时，有时候这2个概念会轮流切换。这个观点就像对物理中光的理解。物理课里，光有反射和衍射。当遇到反射时我们就用“粒子说”，把光子想象一个个小球进行理解。 当遇到干涉时，我们就使用“波动说”，把光子想象为波动，详见 [高中物理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=989)

> 对于矩阵和向量相乘(甚至矩阵和矩阵相乘)，为了方便理解，本站给出了上面两种理解方式，这种理解到底是不是最优的，需要读者自行判断，或者您也可以由自己独特的见解。事实上，在《线性代数》数学这门课上，仅从数学的角度，他是不考虑意义的，比如特征值，数学教材就直接定义$A \alpha= \lambda \alpha$ ,此时$\lambda$ 就称作特征值，然后使用特征多项式求解，就完了。就像最简单的数字“1”，1就是1,1+1=2没什么好解释的，然而，为了理解他，我们会说，你有1个苹果，又拿了1个苹果，那么一共有2个苹果。这种人为的给数学赋予实际意义在帮助理解的同时，也会差生不同的解读，所以，就矩阵相似，读者也可以自己思考有没有更好的理解意义。

> 矩阵相似有4层理解：
第一层： $A \sim B$ ，即矩阵$P^{-1}AP=B$
第二层： $A \sim \Lambda$ ，即矩阵$P^{-1}AP=\Lambda$
第三层： $A \sim \Lambda$ 且 $A=A^T$ ，即矩阵$A$是**对称矩阵**，此时他相似对角形。可以看到，第三层是在第二层的基础上，进一步要求提高对称矩阵
第四层：在第三层的基础上，如果又满足 $A^T A=E$ 则称呼为**正交变换**，即$A$是对称矩阵，他的行列式的值为$\pm 1$.

![图片](/uploads/2025-08/e74513.jpg){width=400px}

## 矩阵可对对角化的通俗理解

我们以上一节的例题来解释

`例` 设矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
-2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-4 & 1 & 3
\end{array}\right)
$$

求他的特征与特征向量

解 ： 具体解法请参考 [矩阵对角化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2598) 里的例1。

我们已经求的 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$ ．
 
和对应的的特征向量

$$
\begin{aligned} 
& p _1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
,
& p_2=\left(\begin{array}{L}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right)
,
& p_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
4
\end{array}\right)  
\end{aligned}
$$

现在想想一下你在三维空间里，原坐标系是
$$A=\left(\begin{array}{rrr}
-2 & 1 &

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