最后更新: 2025-03-06 14:23 查看: 456 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

方阵的相似对角化

## 方阵的相似对角化
把矩阵 $\boldsymbol{P}$ 列分块为 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n\right)$, 由 $P^{-1} A P=\Lambda$ 得 $A P=P \Lambda$ ，即

$$
\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n\right)=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n\right)\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & & \\
& \lambda_2 & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{array}\right)=\left(\lambda_1 \boldsymbol{p}_1, \lambda_2 \boldsymbol{p}_2, \cdots, \lambda_n \boldsymbol{p}_n\right)
$$

于是有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_i=\lambda_i \boldsymbol{p}_i \quad(i=1,2, \cdots, n)$.
可见 $\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值，而 $P$ 的列向量 $p_i$ 就是 $A$ 对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量.
反之，如果 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 恰好有 $n$ 个特征向量，则这 $n$ 个特征向量即可构成矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P} \Lambda$. 并且这 $n$ 个特征向量必定是线性无关的，从而 $P$ 可逆，因此有 $P^{-1} A P=\Lambda$.
由上面的讨论即有:

## 定理1
$n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似(即 $A$ 能对角化)的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.

### 推论
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等，则 $A$ 与对角阵相似.

证明：首先我们对于矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1$ ，有等式满足 $A x_1=\lambda_1 x_1$ ，特征向量为 $x_1$.

对于特征值 $\lambda_2$ ，有等式满足 $A x_2=\lambda_2 x_2$ 。

下面用反证法进行证明！首先假设不同特征值对应的特征向量线性相关

如果对于不同的 $\lambda_1, \lambda_2$ 所对应的特征向量线性相关的话，那么满足下面等式:
$k_1 x_1+k_2 x_2=0$ ，那么等式两边同时乘以矩阵A，得到 $A k_1 x_1+A k_2 x_2=0$ ，化简为:
$\lambda_1 k_1 x_1+\lambda_2 k_2 x_2=0$ ，又因为根据等式 $k_1 x_1+k_2 x_2=0$ 可以得到， $k_2 x_2=-k_1 x_1$ ，带入到 $\lambda_1 k_1 x_1+\lambda_2 k_2 x_2=0$ ，得到 $k_1 x_1\left(\lambda_1-\lambda_2\right)=0$ ，又因为 $\lambda_1, \lambda_2$ 不相同，则造成矛盾。

所以不同特征值对应的特征向量线性相关是错误的。
所以：不同特征值对应的特征向量是线性无关的

## 例题
`例`设 $A =\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，求 $x$ 与 $y$ 应满足的条件.
解：因为矩阵 $A$ 是 3 阶矩阵，又有三个线性无关的特征向量，所以 $A$ 可以相似对角化. 由

$$
| A -\lambda E |=\left|\begin{array}{ccc}
-\lambda & 0 & 1 \\
x & 1-\lambda & y \\
1 & 0 & -\lambda
\end{array}\right|=(1-\lambda)\left|\begin{array}{cc}
-\lambda & 1 \\
1 & -\lambda
\end{array}\right|=-(\lambda-1)^2(\lambda+1),
$$

得到 $\bar{A}$ 的特征值为 $\bar{\lambda}_1=\bar{\lambda}_2=1, \lambda_3=-1$ 。

对应单根 $\lambda_3=-1$ ，可求得线性无关的特征向量恰好有 1 个，故对应重根 $\lambda_1=\lambda_2=1$ 应有 2 个线性无关的特征向量，即方程 $( A - E ) x =0$ 有 2 个线性无关的解，亦即系数矩阵 $A - E$的秩 $R( A - E )=1$ 。

$$
A - E =\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1 \\
x & 0 & y \\
1 & 0 & -1
\end{array}\right) r\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & x+y \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

可知，要使系数矩阵 $A - E$ 的秩 $R( A - E )=1$ ，必须 $x+y=0$ 。

##  附：相似对角化定理的推导

总结前面的例子, 对角阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 的求解法当有下面的对角化定理:
$n \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可对角化的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
具体讲, 对于 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}, \boldsymbol{\Lambda}$ 为对矩阵的充要条件是 $\boldsymbol{P}$ 的列向量是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。这时, $A$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $\boldsymbol{P}$ 中特征向量的特征值 $\lambda_i$, 即

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & \\
{ } & \lambda_2 & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{array}\right]
$$

矩阵的对角化怎么就与矩阵的特征值、特征向量纠结在一起了呢? 其实是因为我们可以利用特征向量的定义来得到对角阵。示意性的推导如下:

把 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量 $\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, \cdots, \boldsymbol{P}_n$ 排成矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的列, 运用分块运算技术, 把矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作为一个整块,或作为一个常数; 把矩阵 $\boldsymbol{P}$ 中每个列看做一个块 (或元素), 运算如下:

$$
A P=A\left[\begin{array}{llll}
p_1 & p_2 & \ldots & p_n
\end{array}\right]=\left[A p_1 A p_2 \ldots A p_n\right]
$$

好, 这时候用上了特征向量的定义式 $\boldsymbol{A P}=\lambda \boldsymbol{P}$, 上式继续有

$$
\boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{llll}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_2 & \ldots & \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_n
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 \boldsymbol{p}_1 & \lambda_2 \boldsymbol{p}_2 & \ldots & \lambda_n \boldsymbol{p}_n
\end{array}\right]
$$

把最后的矩阵按完全不同的方式分解:

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{llll}
\boldsymbol{P}_1 \lambda_1 & \boldsymbol{P}_2 \lambda_2 & \cdots & \boldsymbol{P}_n \lambda_n
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
\boldsymbol{P}_1 & \boldsymbol{P}_2 & \cdots & \boldsymbol{P}_n \\
& & &
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & \\
& \lambda_2 & \\
& & \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{array}\right]=\boldsymbol{P}\left[\begin{array}{lllll}
\lambda_1 & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{array}\right]
$$

显然, 把最后的矩阵左乘一个 $\boldsymbol{P}$ 矩阵的逆, 把 $\boldsymbol{P}$ 消简成单位阵, 就得到了由特征值构成的对角阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 也即 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ 成立。

为了直接理解 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ 的变换过程, 首先, 咱回顾一下 “线性变换的矩阵定理”。想起来啦, 好, 由此定理, 我们理解一下下面似乎无聊的计算:

$$
A=A E=A\left[\begin{array}{llll}
e_1 & e_2 & \ldots & e_n
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
A e_1 & A e_2 & \ldots & A e_n
\end{array}\right]
$$

其中 $\left\{e_1, e_2, \ldots e_n\right\}$ 为单位基向量。
啥意思? 就这意思: 作为一线性变换, 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 就等于自己逐个乘以坐标基向量 $\boldsymbol{e}_i$ 后得到的新矩阵。相当于对 $\boldsymbol{E}$ 内的每个列向量 $\boldsymbol{e}_i$ 进行了一次线性变换。 $\boldsymbol{E}$ 就是此坐标系下的单位基向量矩阵。

这和矩阵的几何意义相符: 一个矩阵就是把第一象限的单位立方体变换到其他象限的多面体, 单位立方体由单位基向量张成, 多面体由矩阵列向量张成; 而列向量是由基向量变换得到的。

回过头来, $\boldsymbol{P}$ 是原坐标系下的基向量矩阵 (但不一定是单位基向量矩阵)。一个 $\boldsymbol{A}$ 乘以 $\boldsymbol{P}$矩阵, 相当于对 $\boldsymbol{P}$ 内的每个列向量 $\left\{\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \ldots, \boldsymbol{p}_n\right\}$ 进行了一次线性变换, 也就是对基向量组进行了一次线性变换, 得到了一组新向量组 $\left\{A p_1, A p_2, \ldots, A p_n\right\}$ 。这组表达线性变换的向量组还在使用老的坐标系呢, 好, 再左乘个 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 矩阵把它们统统变换到以 $\left\{\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \ldots, \boldsymbol{p}_n\right\}$ 为坐标系的空间里面去, 得到向量组 $\left\{P^{-1} A p_1, P^{-1} A p_2, \ldots, P^{-1} A p_n\right\}$, 把它们按序组成矩阵就是原线性变换在新基下的矩阵。
如果 $\boldsymbol{P}$ 矩阵的每个列向量 $\left\{\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \ldots, \boldsymbol{p}_n\right\}$ 都是特征向量, 则矩阵 $\left\{\boldsymbol{P}^{-1} A p_1, \boldsymbol{P}^{-1} A p_2, \ldots, \boldsymbol{P}^{-1} A p_n\right\}$

## 相似对角化的例子

用前面[矩阵相似](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=497)镜像变换的例子验证一下如何相似对角化。如图 5-52 所示, 在原坐标系 $\{x o y\}$ 下的镜像变换矩阵和基变换距阵分别为

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right]
$$

那么相似对角化的过程 $\boldsymbol{A} \rightarrow \boldsymbol{A P} \rightarrow \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{A}$ 具体是:
![图片](/uploads/2024-01/image_20240104ecb41fc.png)
镜像变换 $\boldsymbol{A}$ 左乘矩阵 $\boldsymbol{P}$, 就把特征向量组 $\left\{\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2\right\}=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right)\right\}$ 变换成了 $\left\{\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_3\right\}=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)\right\}$,这两个向量的元素都是原坐标系下的数值; 再左乘逆矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}=\left[\begin{array}{rr}0.5 & 0.5 \\ -0.5 & 0.5\end{array}\right]$, 就把 $\left\{\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_3\right\}$ 变成了新坐标系 $\left\{x^{\prime} o y^{\prime}\right\}$ 下的向量组 $\left\{\boldsymbol{p}_1^{\prime}, \boldsymbol{p}_3^{\prime}\right\}=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ -1\end{array}\right)\right\}$, 把 $\boldsymbol{P}_1^{\prime} 、 \boldsymbol{P}_3^{\prime}$ 组成矩阵, 就得到了表示镜像变换的新矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ 。这是新坐标系 $\left\{x^{\prime} o y^{\prime}\right\}$ 下的镜像变换矩阵。

从图上看到没? 镜像变换很简单, 就那么三个向量在那里放着没动, 就我们自个儿把矩阵啊向量啊乘过来除过去的, 折腾个没完——不为别的, 就为了那个传说中的对角阵。

其实, 我们很朴素地想一想特征向量的定义式 $A x=\lambda x$, 这公式本身就是一种简化: 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对特征向量 $\boldsymbol{x}$ 的变换结果 $\boldsymbol{A x}$ 等于一个常数（特征值） $\lambda$ 对特征向量 $\boldsymbol{x}$ 的变换结果 $\lambda \boldsymbol{x}$ 。这样看来, 矩阵的对角简化与特征向量的联系就不突然了。实际上, 想把 $\boldsymbol{A}$ 对角化, 就要有足够的特征向量形成 $\mathbf{R}^n$ 的一个基。
因此, 线性变换的相似对角化实质是寻找一个适当的坐标系, 使得该变换对这个新的坐标

> 一般实矩阵相似于对角阵的充要条件是它有 $n$ 个线性无关的特征向量这一基本结论, 正因为此, 要知道并不是任何实矩阵都可以相似于对角阵, 但实对称方阵一定可以与对角阵相似 (可对角化)。对这一点一定不要有所怀疑。

`例`问下列矩阵哪个可以对角化：

$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
-3 & 1 & -1 \\
-7 & 5 & -1 \\
-6 & 6 & -2
\end{array}\right] \quad B =\left[\begin{array}{lll}
1 & -3 & 3 \\
3 & -5 & 3 \\
6 & -6 & 4
\end{array}\right]
$$

解 对于 $A$ ，求其特征值与特征向量

$$
| A -\lambda I |=\left|\begin{array}{ccc}
-3-\lambda & 1 & -1 \\
-7 & 5-\lambda & -1 \\
-6 & 6 & -2-\lambda
\end{array}\right|=-(\lambda+2)^2(\lambda-4)
$$

令 $| A -\lambda I |=0$ ．故 $A$ 有特征值：$\lambda_1=\lambda_2=-2, \lambda_3=4$ ．对于二重根 $\lambda_1=-2$ ．求其特征向量：
由 $( A -\lambda I ) X =0$ 得

$$
\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & -1 \\
-7 & 7 & -1 \\
-6 & 6 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=0
$$

或

$$
\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=0
$$

只有一个线性无关的特征向量： $X =(1,1,0)^{ T }$ ．
因此对于 $\lambda_1=-2$ ，其几何重数 $m_1$ 小于代数重数 $n_1$ 。因此 $A$ 不可对角化对于矩阵 $B$ ．同样求其特征值与特征向量：

$$
| B -\lambda I |=0:\left[\begin{array}{ccc}
1-\lambda & -3 & 3 \\
3 & -5-\lambda & 3 \\
6 & -6 & 4-\lambda
\end{array}\right]=-(\lambda+2)^2(\lambda-4)
$$

对 $\lambda=-2$ ．线性齐次方程组：$\left( B -\lambda_1 I\right) X = 0$ ：

$$
\left[\begin{array}{rrr}
3 & -3 & 3 \\
3 & -3 & 3 \\
6 & -6 & 6
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]= 0 .
$$

解之，有两个线性无关的特征向量：

$$
X _1=(1,1,0)^{T}, \quad X _2=(1,0,-1)^{T}
$$

对于 $\lambda_3=4$ ，有线性齐次方程组 $\left( B -\lambda_3 I \right) X =0$

$$
\left[\begin{array}{ccc}
-3 & -3 & 3 \\
3 & -9 & 3 \\
6 & -6 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=0
$$

解之，得

$$
X _3=(1,1,2)^{T}
$$

因此 B 有三个线性无关的特征向量，因此 B 可对角化。记

$$
P =\left( X _1, X _2, X _3\right)=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 2
\end{array}\right]
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 则必有 }\\
&P ^{-1} B P =\left[\begin{array}{lll}
-2 & & \\
& -2 & \\
& & 4
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

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