最后更新: 2025-08-31 10:23 查看: 780 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

正交矩阵

> 在学习本章时，必须跟进整体向量的思路。比如给你两个向量：$a,b$，我们先定义$a,b$的长度和夹角，如果他们不共线那就可以扩张为一个平面，既然能扩张为一个面，进而要研究如何找到一组正交基，然后给出施密特正交化，有了正交化后，再把模长单位化（即让模长为1），这样就可以到的新的空间坐标系，这个新的空间坐标系就是正交矩阵。换句话说，本掌内容是一环扣着一环，所以，在阅读本文前，建议已经了解前面介绍的内容。

下图展示了我们处理向量的基本过程：给你任意两个向量，我们先让他们正交，再让他们单位化，这就是前面所学的内容。示意图如下小黄脸从不开心到开心再到哈哈大笑。

![图片](/uploads/2025-08/cc9493.jpg)

> 作为初学者最大的疑问是：怎么又提出正交矩阵这个概念？这是因为一个矩阵乘以一个向量相当于一个线性变换，只有正交矩阵不改变向量根本属性。后面会学到二次型，比如一个圆当使用普通矩阵进行变换时，会变成椭圆（通常长度，角度都会改变），但只有正交变换会让圆仍然保持圆（长度、角度不变，或者把正交矩阵看成坐标轴旋转）

## 正交矩阵的数学定义及性质
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{\mathrm{T}} A=E $ , 那么称 $A$ 为正交矩阵，简称正交阵.

设矩阵 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则下列结论等价:
(1) $A$ 是 $n$ 阶正交阵；
(2) $A$ 的列向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基;
(3)   $A$ 的行向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.
证明 (1) $\Leftrightarrow(2)$ ： 将矩阵 $A$ 按列分块 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 如果 $A$ 是 $n$ 阶正交阵，
则公式 $A^T A=E$ 可表示为 $\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^2 \\ \vdots \\ a_n^2\end{array}\right)\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right)$,
亦即 $\quad \boldsymbol{\alpha}_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { 当 } i=j, \\ 0, & \text { 当 } i \neq j\end{array}(i, j=1,2, \cdots, n)\right.$,
这说明 $A$ 的列向量都是 $n$ 维单位向量，且两两正交，从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.

$$
\text { (1) } \Leftrightarrow(3) \text { : 因为 } A^T A=E \text { 与 } A A^T=E \text { 等价，所以将矩阵 } A \text { 按行分块 } A=\left(\begin{array}{c}
\beta^T \\
\beta_2^{\top} \\
\vdots \\
\beta_n^{\top}
\end{array}\right) \text {, }
$$

于是公式 $A A^T=E$ 可表示为

$$
A A^{\top}=\left(\begin{array}{c}
\beta^{\top} \\
\beta_2^{\top} \\
\vdots \\
\beta_n^{\top}
\end{array}\right)\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$

所以

$$
\boldsymbol{\beta}_i^T \boldsymbol{\beta}_j=\boldsymbol{\delta}_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { 当 } i=j, \\
0, & \text { 当 } i \neq j
\end{array} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),\right.
$$

即: $A$ 的行向量也都是 $n$ 维单位向量，且两两正交，从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.

### 克罗内克函数
现在跳脱线性代数，仅从高中函数的角度看$\boldsymbol{\delta}_{i j}$ ,当 $i=j$时，其值为1，当 当 $i \ne j$时，其值为0,

$$
\boldsymbol{\delta}_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { 当 } i=j, \\
0, & \text { 当 } i \neq j
\end{array} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),\right.
$$

这个函数被称作克罗内克函数，他完美地同时概括了“标准”和“正交”两个条件

## 数学性质

1．正交矩阵的逆：$Q^T=Q^{-1}$ ，正交矩阵的转置 $=$ 正交矩阵的逆；

2．正交矩阵的行列式：行列式的取值只有两种可能（1）或（－1）；
这个证明比较简单，因为 $A^T A=E$, 两边取行列式得 
$|A^TA|=|E|=>|A|=1 or |A|=-1$

3．向量正交：将 $Q$ 视作由若干行向量组成，则这些行向量两两相互正交；若将 $Q$ 视作由若干列向量组成，则这些列向量也两两相互正交；

4．保持长度不变：$Q \vec{x}=\vec{y}$ ，将 $Q$ 视作一个矩阵映射时，左乘一个向量 $x$ 后，得到的结果向量 $y$ 的长度与向量 $x$ 的长度相同，记作：$\|\

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