最后更新: 2025-08-26 09:06 查看: 363 次反馈同步训练

施密特正交化例题

## 施密特正交化例题
在上一节解释了施密特正交化。下面举几个例子进行说明。很遗憾，施密特正交化即难理解，计算量又非常复杂，稍微不细心就会做错。但是，在期末考试或者考研里，必有一题和正交化相关试题，他是线性代数的核心内容。

## 例题

`例` 在欧氏空间 $R^3$ 中，对于基 $\beta_1=(1,1,1)$ ， $\beta_2=(1,1,0), \quad \beta_3=(1,0,0)$ 施行正交化方法，求出 $R^3$ 的一个标准正交基。

解 取 $\gamma_1=\beta_1=(1,1,1)$ ，由施米特正交化方法：

$$
\begin{aligned}
& \gamma_2=\beta_2-\frac{\left(\beta_2, \gamma_1\right)}{\left(\gamma_1, \gamma_1\right)} \gamma_1=\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right), \\
& \gamma_3=\beta_3-\frac{\left(\beta_3, \gamma_1\right)}{\left(\gamma_1, \gamma_1\right)} \gamma_1-\frac{\left(\beta_3, \gamma_2\right)}{\left(\gamma_2, \gamma_2\right)} \gamma_2=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, 0\right),
\end{aligned}
$$

所以 $\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right\}$ 是 $R^3$ 的一个正交基；

再令

$$
\begin{aligned}
& \alpha_1=\frac{\gamma_1}{\left|\gamma_1\right|}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right), \\
& \alpha_2=\frac{\gamma_2}{\left|\gamma_2\right|}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\right), \\
& \alpha_3=\frac{\gamma_3}{\left|\gamma_3\right|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right),
\end{aligned}
$$

则 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 即为欧氏空间 $R^3$ 的一个标准正交基。
此例可以看出欧氏空间中的标准正交基不唯一，对 $R^3$ 而言 $\varepsilon_1=(1,0,0), \quad \varepsilon_2=(0,1,0), \quad \varepsilon_3=(0,0,1)$ 也是一个标准正交基。

`例`将线性无关向量组化为标准正交向量组

$$
\alpha_1=( 1 , 1,1,1)^T, \alpha_2=(1,-2,-3,-4)^T, \alpha_3=(1,2,2,3)^T
$$

解
(1) 正交化

$$
\begin{aligned}
\beta_1 & =\alpha_1=( 1 , 1 , 1,1)^T \\
\beta_2 & =\alpha_2-\frac{\left(\alpha_2, \beta_1\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1 \\
& =( 3 , 0 ,-1,-2)^T
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\beta_3 & =\alpha_3-\frac{\left(\alpha_3, \beta_1\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1-\frac{\left(\alpha_3, \beta_2\right)}{\left(\beta_2, \beta_2\right)} \beta_2 \\
& =\left(\frac{1}{14}, 0,-\frac{5}{14}, \frac{4}{14}\right)^T
\end{aligned}
$$

(2)单位化

$$
\begin{aligned}
& \gamma_1=\frac{1}{\left|\beta_1\right|} \beta_1=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2}}(1,1,1,1)^T=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)^T, \\
& \gamma_2=\frac{1}{\left|\beta_2\right|} \beta_2=\left(\frac{3}{\sqrt{14}}, 0,-\frac{1}{\sqrt{14}},-\frac{2}{\sqrt{14}}\right)^T, \\
& \gamma_3=\frac{1}{\left|\beta_3\right|} \beta_3=\left(\frac{1}{\sqrt{42}}, 0,-\frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{4}{\sqrt{42}}\right)^T .
\end{aligned}
$$

则 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 为所求.

`例` 设 $A =\left[\begin{array}{lll}4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right]$ ，求正交阵 $Q$ ，使得 $Q ^{-1} A Q = \Lambda

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