最后更新: 2024-09-06 19:21 ● 参与者查看: 411 次纠错分享评论参与项目

施密特正交化过程

## 施密特正交化定义
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，从基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 出发，找一组两两正交的单位向量， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r ，$ 使 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 等价， 这个过程称为把基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 规范正交化.

具体步骤如下:
第一步，将基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 正交化 (施密特 (Schmidt) 正交化过程) .

$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1, \\
& \beta_2=\alpha_2-\frac{\left[\beta_1, \alpha_2\right]}{\left[\beta_1, \beta_1\right]} \beta_1, \\
& \text { 即取 } \beta_3=\alpha_3-\frac{\left[\beta_1, \alpha_3\right]}{\left[\beta_1, \beta_1\right]} \beta_1-\frac{\left[\beta_2, \alpha_3\right]}{\left[\beta_2, \beta_2\right]} \beta_2 \text {, } \\
&
\end{aligned}
$$

第二步，将 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r$ 单位化，得到 $\xi_1=\frac{1}{\left\|\beta_1\right\|} \beta_1, \quad \xi_2=\frac{1}{\left\|\beta_2\right\|} \beta_2, \cdots, \xi_r=\frac{1}{\left\|\beta_r\right\|} \beta_r$
于是， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_2$ 就是 $V$ 的一个规范正交基.

## 如何理解施密特（Schmidt）正交化
注：本文来源于  [https://www.zhihu.com/tardis/zm/art/136627868?source_id=1005](https://www.zhihu.com/tardis/zm/art/136627868?source_id=1005)

### 为什么要使用施密特正交化法
在一个平面，或者三维空间中，任意一点都可以被坐标系表示出来。而我们更喜欢的是单位直角坐标系，因为在一个单位直角坐标系中，任意一个向量的坐标分量，通过简单的投影就可以搞定。
 ![01.gif](/uploads/2024-09/388c3c.gif){width=450px}
因此，如何找到欧式空间的一个“直角坐标系”，变得非常重要。施密特正交化法就告诉我们了一种把“任意坐标系”变为“直角坐标系”的方法。

### 如何理解欧氏空间R中的施密特正交化法
我们首先需要理解一个向量 $\alpha_2$ 在另外一个向量 $\alpha_1$ 的投影公式。只要利用正交的定义，就很容易知道 $\alpha_2$ 在 $\alpha_1$ 的投影向量为

$$
\frac{\left(\alpha_1, \alpha_2\right)}{\left(\alpha_1, \alpha_1\right)} \alpha_1
$$

![02.gif](/uploads/2024-09/fe2f55.gif){width=450px}
 利用这个投影公式，我们便可以轻松理解施密特正交化法。
 
 #### 二维平面空间的情况
 
 平面上任意两个不共线的向量都可以构成平面的一个坐标系(也就是一组基)，我们可以利用这两个向量之间的投影得到两个正交的向量:

Step1: 令 $\beta_1=\alpha_1$

Step2: 做向量 $\alpha_2$ 在向量 $\beta_1=\alpha_1$ 的投影，并与 $\alpha_2$ 做差得到

$$
\beta_2=\alpha_2-\frac{\left(\beta_1, \alpha_2\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1
$$

![03.gif](/uploads/2024-09/4e086d.gif){width=450px}

#### 三维立体空间的情况
 对于一个三维欧民空间来说, 首先可以轻松找到一组基:

Step1：任意取一个非零向量 $\alpha_1$ ；

Step2: 除去非零向量 $\alpha_1$ 所在的直线后，任意取一个非零向量 $\alpha_2$ ；

Step3: 除去非零向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 所在的平面，任意取一个非零向量 $\alpha_3$ 。

图。。。。。

下面我们看看如何利用施密特正交化法将这一组基正交化。

Step1: 令 $\beta_1=\alpha_1$
 ![04.gif](/uploads/2024-09/ed5644.gif){width=450px}
 
 
Step2:做向量$\alpha_2$ 在向量 $ \beta_1=\alpha_1$ 的投影，并与 $ \alpha_2 $ 做差得到 
 $\beta_2=\alpha_2-\frac{\left(\beta_1, \alpha_2\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1:$
  ![04.gif](/uploads/2024-09/05.gif){width=450px}

Step3: 分别做向量 $\alpha_3$ 在向量 $\beta_1, \beta_2$ 的投影 $\frac{\left(\beta_1, \alpha_3\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1, \frac{\left(\beta_2, \alpha_3\right)}{\left(\beta_2, \beta_2\right)} \beta_2$ ，利用 $\alpha_3$ 减去两个投影的和得到

$$
\beta_3=\alpha_3-\frac{\left(\beta_1, \alpha_3\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1-\frac{\left(\beta_2, \alpha_3\right)}{\left(\beta_2, \beta_2\right)} \beta_2
$$
  ![04.gif](/uploads/2024-09/06.gif){width=450px}

对于n维空间，和2维，3维类似。

**例1** 设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 是 $\mathbf{R}^3$ 的一个基，求一个与 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 等价的规范正交基.
解 取

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right), \\
& \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{\left[\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\right]}{\left[\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1\right]} \boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}
0 \\
4 \\
1
\end{array}\right)-\frac{3}{3}\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
3 \\
2
\end{array}\right), \\
& \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_3-\frac{\left[\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\alpha}_3\right]}{\left[\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1\right]} \boldsymbol{\beta}_1-\frac{\left[\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right]}{\left[\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_2\right]} \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
1
\end{array}\right)-\frac{2}{3}\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right)-\frac{7}{14}\left(\begin{array}{c}
-1 \\
3 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-\frac{5}{6} \\
\frac{1}{6} \\
-\frac{2}{3}
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

再将 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 单位化，得到 $\xi_1=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_1\right\|} \boldsymbol{\beta}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_2=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_2\right\|} \boldsymbol{\beta}_2=\frac{1}{\sqrt{14}}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right), \xi_3=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_3\right\|} \boldsymbol{\beta}_3=\frac{1}{\sqrt{42}}\left(\begin{array}{c}-5 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)$, $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 即为所求.

例2 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}\text { 1 } \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ，求一组非零向量 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ ，使 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交.
解 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 应满足方程 $\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0$ ， 即 $x_1-x_2+x_3=0$,

它的基础解系为

$$
\begin{gathered}
\xi_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right), \\
-------------------1 \\
\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\xi}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_3=\xi_2-\frac{\left[\boldsymbol{\alpha}_2, \xi_2\right]}{\left[\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2\right]} \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
-2
\end{array}\right),
\end{gathered}
$$

则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交.

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