最后更新: 2025-08-26 09:00 查看: 909 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

施密特正交化过程

### 向量减法
在理解施密特正交化之前，还是回顾一下向量减法。在高中介绍过向量的三角形法则， $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(\vec{-b})$, 表示如下，也就是向量减法里，向量的起点是$B$,终点是$A$, 即由$B$指向$A$, 详见 [向量加减](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=165)

![图片](/uploads/2024-11/87f055.jpg){width=200px} 
 记住这个结论，稍后将会用到。

>**重要** 在学习本文前务必理解了本章前面已经介绍的[向量投影](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1597)

## 施密特正交化简单解释
假设有两个线性无关的向量 $a$ 和 $b$, 现在标准正交化这两个向量，让它们变成互相垂直的 $q_1$ 和 $q_2$ 。 所谓向量正交化就是找到一组垂直的向量 $q_1$ 和 $q_2$，使得他们可以很容易的表示出$a$和$b$.

> 在理解正交化之前，我们举一个小例子：假设你是老师，要寻找班级里身高最高的学生，你会怎么做？你会让学生排成一排，然后从第一个学生开始，你默认他是班级里最高的，然后用第二个学生和第一个学生比较，如果第二个比第一个高，则交换他们的位置，否则，保持位置不变。 然后用第三个人还和“第一个”人比较，如果第三个人比第一个人高，则交换他们的位置，否则，保持不变，以此类推，最终，“第一个”人就是班级里最高的。施密特正交化的思想和此类似，给你一组向量，要找到一组互相垂直的向量，那我随便选一个作为基准，后续向量和他垂直即可。

现在有两个向量$a,b$，首先保持 $a$ 不变让向量 $A=a$ ，接下来要寻找到另一个向量 $B$ ，使得 $A \perp B$ (参考下图) 。假设$B$已经找到，容易看到$p$ 是 $b$ 在 $a$ 上的投影， 根据上面介绍的向量的三角形减法法则，$B$ 就相当于$b-p$
接下来的工作是看看$B$怎么用$a,b$来表示。

![图片](/uploads/2024-11/52ac5f.jpg)

$p$ 相当于 $a$ 放缩了 $x$ 倍，在一维空间内， $x$ 是一个标量，可以表示为 (参考[内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=491)):

$$
\begin{gathered}
x=\frac{a^T b}{a^T a} \\
p= x \boldsymbol{a}=\frac{a^T b}{a^T a} x \boldsymbol{a}  \\
\therefore B=b-p=b- \frac{a^T b}{a^T a} x \boldsymbol{a}
\end{gathered}
$$

**这相当于 $B$ 是 $b$ 减去 $b$ 在 $a$ 上的投影.**

最后将 $A$ 变成指向 $A$ 方向的单位向量， $B$ 变成指向 $B$ 方向的单位向量：

$$
q_1=\frac{A}{\|A\|}, \quad q_2=\frac{B}{\|B\|}
$$

这就是格拉姆-施密特正交化方法。

### 简单举例

假设有两个向量: $\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right] $ 和 $\boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{c}2\\3\end{array} \right]$

![图片](/uploads/2025-01/bc1172.jpg){width=350px}

仿照上面的步骤，看看怎么把他们正交化，我们必须时刻记着我们的目的是什么:找两个向量$A,B$，他们模长为1,且互相垂直。

所以，对于$A$直接使用$a$即可，即$A=\left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right]$

可以看到，对于$A$还是非常好找的,直接令$A=a$即可。

接下来找$B$，我们先计算一下 $x=\dfrac{\boldsymbol{a^T b}}{\boldsymbol{a^T a}}$
因为两个[向量内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=491)，为两个向量坐标分量直接乘积，所以，

$$
\boldsymbol{a^T b}=[5,2] * \left[\begin{array}{c}2\\3\end{array} \right] = 16
$$
 
$$
\boldsymbol{a^T a}=[5,2] * \left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right] = 29
$$

所以$x=\dfrac{16}{29}$

所以 $p=x\boldsymbol{a}= \dfrac{16}{29} (5,2)= (\dfrac{80}{29},\dfrac{32}{29})$

因此$B=b-p=\left[\begin{array}{c}2\\3\end{array} \right] - \left[\begin{array}{c} \frac{80}{29}\\\frac{32}{29}\end{array} \right]= \left[\begin{array}{c} \frac{-22}{29}\\  \frac{55 }{29} \end{array} \right] $

这样，我们就找到了一组互相垂直的向量$A,B$,即
$$
A=\left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right]
$$

$$
B=\left[\begin{array}{c} \frac{-22}{29}\\  \frac{55 }{29} \en

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