最后更新: 2025-08-26 09:49 查看: 670 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量正交

## 向量正交
向量正交是指：若两个同维向量 $\vec{u}, \vec{v}$ 的点乘（也叫：数量积）为 0 ，则两个向量正交（也叫：垂直），

> **上面做法用口诀记忆就是：两个向量内积为零则正交，反之，如果正交则内积为零。**

### 理解：向量正交

在二维平面里，我们有平面笛卡尔直角坐标系$i=(1,0), j=(0,1)$（也就是传统的x轴与y轴），很明显他们是正交的 
 ![图片](/uploads/2024-11/abc2aa.jpg){width=300px}

但是他们并不是唯一的，比如$a=(1,1)$ 和 $b=(1,-1)$也正交。

在三维空间里，也有空间笛卡尔坐标系$i=(1,0,0), j=(0,1,0),k=(0,0,1)$, （也就是传统的x轴，y轴与z轴）
  ![图片](/uploads/2024-11/7b0415.jpg){width=300px}

`例` 验证向量 $u = (1, 2, 3)$ 和 $v = (7, 2, -11/3)$ 也是正交的。

解：计算点积 
$$
u · v = (1 * 7) + (2 * 2) + (3 * (-11/3))
= 7 + 4 + (-11)
= (7 + 4) - 11
= 11 - 11
= 0
$$
因为点积为 0，所以向量u 和 v 在三维空间中正交(互相垂直)。

现在的问题来了：给一组向量，如何快速找到一组相互垂直的坐标系（基），这就是接下来我们要研究的问题, 为此先给出正交向量组的概念。
 
  
 
 
## 正交向量组
**定义** 由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组.

**判定** 若 $\alpha \beta =0$ 则称$\alpha$和$\beta$正交。

`例` 
$$
a=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
0
\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
3
\end{array}\right) 
$$

解：要判断$a,b,c$是正交向量组，就是要判断$ab=0,ac=0,bc=0$.

计算 $a \ b= 1*0+0*2+0*0=0$ 所以 $a,b$垂直，同样$b,c$,$a,c$ 都互相垂直。所以$a,b,c$构成一个正交向量组。

`例` 不难证明，下面四个向量也构造一个正交向量组。
$$ 
\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right)
$$

> **从上面计算可以看出，两个向量正交，则对应坐标点相加为零。反正，如果对应坐标点相加为零，则两个向量正交，这是一个非常有用的结论。**

## 定理1
若 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一个正交向量组，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关.

证明： 设有常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ ，使

$$
\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0},
$$

以 $\boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}}(i=1,2, \cdots, m)$ 左乘上式两端，当 $j \neq i$ 时， $\alpha_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=0$ ，从而有 $\lambda_i \boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_i=0(i=1,2, \cdots, m)$,
因 $\boldsymbol{\alpha}_i \neq \mathbf{0}(i=1,2, \cdots,

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