最后更新: 2025-10-12 15:57 查看: 151 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵与对角形 λ 相似的判定

## 什么是对角形矩阵？
只有主对角线的元素有值，其它元素都是零的矩阵，叫做**对角形矩阵**。
$$
\Lambda=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{33} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a_{n n}
\end{array}\right)
$$

特别的，单位矩阵$E$是对角形矩阵的一个特例，对角矩阵通常简记为 $diag A$

在前面曾经说过，矩阵作用于向量，类似对向量实施了一次变换，在这个变换里，如果采用对角矩阵作为基，这种表示矩阵的变换最为方便。
比如

$$
A d =\left[\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3
\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}
d_1 \\
d_2 \\
d_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\lambda_1 d_1 \\
\lambda_2 d_2 \\
\lambda_3 d_3
\end{array}\right)
$$

> **对角形矩阵作用在一个向量上，相当于各个分量直接进行了变换**。

因此，接下来，我们就要探寻，哪些矩阵能化为对角形矩阵，这句话还可以表述为：哪些矩阵能和对角形矩阵相似。

## 定理
在矩阵相似里有
$$
P^{-1}AP=B
$$

如果这里的$B$是对角形矩阵，我们就说矩阵$A$ 可对角化，即
$$
\boxed{
P^{-1}AP=\Lambda ...(1)
}
$$

如果把（1）式左右分别乘以$P$ 和$P^{-1}$ 则有
$$
\boxed{
A= P \Lambda P^{-1} ...(2)
}
$$
（2）式表明，如果一个矩阵可对角化，意味着他可以分解为3个矩阵相乘。正像代数式的因式分解方便求解一样，矩阵A如果可以分解，也方便求解，因此，我们看一下哪些矩阵能够和对角形相似。

（2）式右乘$P$则有
$$
\boxed{
AP= P \Lambda ...(3)
}
$$

（3）式表明，两个矩阵AP相乘等于P和$\Lambda$ 相乘

> **定理1 $n$阶矩阵$A$相似于对角形矩阵$\Lambda$的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。**

证 **必要性** 设存在可逆矩阵 $P$ ，使得

$$
P^{-1} A P=\Lambda
$$

其中

$$
\Lambda=\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right]
$$

将矩阵 $P$ 按列分块，令 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，则有

$$
A\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right] \text {, }
$$

即

$$
\left(A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_n\right)=\left(\lambda_1 \alpha_1, \lambda_2 \alpha_2, \cdots, \lambda_n \alpha_n\right)
$$

因而

$$
A \alpha_i=\lambda_i \alpha_i \quad(i=1,2, \cdots, n)
$$

即 $\alpha_i(i=1,2, \cdots, n)$ 是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量．由于 $P$ 可逆，所以，$\alpha_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ 且 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关。

**充分性** 设 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，对应的特征值依次为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，即

$$
A \alpha_i=\lambda_i \alpha_i \quad(i=1,2, \cdots, n)
$$

以 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 为列向量构造矩阵 $P$ ，即

$$
P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) \text {, }
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 则 } P \text { 可逆, 且 } \\
& A P=A\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_n\right)=\left(\lambda_1 \alpha_1, \lambda_2 \alpha_2, \cdots, \lam

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