最后更新: 2025-08-24 15:25 查看: 79 次反馈同步训练

矩阵与对角形相似

## 什么是对角形矩阵？
只有主对角线的元素有值，其它元素都是零的矩阵，叫做**对角形矩阵**。
$$
\Lambda=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{33} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a_{n n}
\end{array}\right)
$$

特别的，单位矩阵$E$是对角形矩阵的一个特例，对角矩阵通常简记为 $diag A$

在前面曾经说过，矩阵作用于向量，类似对向量实施了一次变换，在这个变换里，如果采用对角矩阵作为基，这种表示矩阵的变换最为方便。
比如

$$
A d =\left[\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3
\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}
d_1 \\
d_2 \\
d_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\lambda_1 d_1 \\
\lambda_2 d_2 \\
\lambda_3 d_3
\end{array}\right)
$$

> **对角形矩阵作用在一个向量上，相当于各个分量直接进行了变换**。

因此，接下来，我们就要探寻，哪些矩阵能化为对角形矩阵，这句话还可以表述为：哪些矩阵能和对角形矩阵相似。

## 定理
在矩阵相似里有
$$
P^{-1}AP=B
$$

如果这里的$B$是对角形矩阵，我们就说矩阵$A$ 可对角化，即
$$
\boxed{
P^{-1}AP=\Lambda ...(1)
}
$$

如果把（1）式左右分别乘以$P$ 和$P^{-1}$ 则有
$$
\boxed{
A= P \Lambda P^{-1} ...(2)
}
$$
（2）式表明，如果一个矩阵可对角化，意味着他可以分解为3个矩阵相乘。正像代数式的因式分解方便求解一样，矩阵A如果可以分解，也方便求解，因此，我们看一下哪些矩阵能够和对角形相似。

（2）式右乘$P$则有
$$
\boxed{
AP= P \Lambda ...(3)
}
$$

（3）式表明，两个矩阵AP相乘等于P和$\Lambda$ 相乘

> $n$阶矩阵$A$相似于对角形矩阵$\Lambda$的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。

证 **必要性** 设存在可逆矩阵 $P$ ，使得

$$
P^{-1} A P=\Lambda
$$

其中

$$
\Lambda=\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right]
$$

将矩阵 $P$ 按列分块，令 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，则有

$$
A\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right] \text {, }
$$

即

$$
\left(A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_n\right)=\left(\lambda_1 \alpha_1, \lambda_2 \alpha_2, \cdots, \lambda_n \alpha_n\right)
$$

因而

$$
A \alpha_i=\lambda_i \alpha_i \quad(i=1,2, \cdots, n)
$$

即 $\alpha_i(i=1,2, \cdots, n)$ 是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量．由于 $P$ 可逆，所以，$\alpha_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ 且 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关。

**充分性** 设 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，对应的特征值依次为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，即

$$
A \alpha_i=\lambda_i \alpha_i \quad(i=1,2, \cdots, n)
$$

以 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 为列向量构造矩阵 $P$ ，即

$$
P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) \text {, }
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 则 } P \text { 可逆, 且 } \\
& A P=A\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_n\right)=\left(\lambda_1 \alpha_1, \lambda_2 \alpha_2, \cdots, \lambda_n \alpha_n\right) \\
& \\
& =\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

$$
=P\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right],
$$

即

$$
A P=P A \text {, 从而 } P^{-1} A P=\Lambda \text {. }
$$

故矩阵 $A$ 与对角形矩阵 $\Lambda$ 相似。

## 推论
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots$ ， $\lambda_n$ ，则 $A$ 与对角形矩阵

$$
  \Lambda=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right] \text { 相似 }
$$

证 因为不同的特征值对应的特征向量线性无关．因而，当 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值时，必有 $n$ 个线性无关的特征向量，故由上面定理可知，$A$ 相似于对角形矩阵．

> 注 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值只是 $A$ 相似于对角形矩阵的充分条件，而不是必要条件。

**换句话说，当特征方程有重根时，可能相似，也可能不相似。详见 [代数重根与几何重根](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2599)**

为了叙述方便，当矩阵 $A$ 能与对角形矩阵相似时，我们称矩阵 $A$**可对角化**．

## 相似对角形的求法

`例`  设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
-2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-4 & 1 & 3
\end{array}\right)
$$

问 $A$ 能否对角化？若能，则求可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使 $P^{-1} A P=\Lambda$

解 先求 $A$ 的特征值．

$$
\begin{aligned}
|A-\lambda E| & =\left|\begin{array}{ccc}
-2-\lambda & 1 & 1 \\
0 & 2-\lambda & 0 \\
-4 & 1 & 3-\lambda
\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{cc}
-2-\lambda & 1 \\
-4 & 3-\lambda
\end{array}\right| \\
& =(2-\lambda)\left(\lambda^2-\lambda-2\right)=-(\lambda+1)(\lambda-2)^2,
\end{aligned}
$$

所以 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$ ．
再求 $A$ 的特征向量．

①当 $\lambda_1=-1$ 时，解方程 $(A+E) x=0$ ．由

$$
A+E=\left(\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 0 \\
-4 & 1 & 4
\end{array}\right) \sim\left(\begin

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