最后更新: 2025-07-28 06:29 查看: 1024 次反馈同步训练

瑕积分

## 瑕积分
如果函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的任一邻域内都无界, 则称点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点 (也称为无界间断点)，无界函数的反常积分也称瑕积分.
例如下图$y=\dfrac{1}{x}$,在$x=0$处，就是函数的瑕点。

![图片](/uploads/2024-10/278e0e.jpg)
 
 
>通俗的说，瑕积分就是积分区域内有瑕点（瑕疵）的积分

### 情况1
设函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点，任取 $\varepsilon>0$ ， 如果极限 $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上的反常积分， 仍记作 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$, 即

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) \mathrm{d} x ，
$$

如果上述积分存在则称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛. 如果极限不存在，则称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散.

### 情况2
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上连续，点 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点，任取 $\varepsilon>0$ ， 如果极限 $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上的反常积分， 仍记作 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$. 即

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^0} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x,
$$

如果上述积分存在，则称为反常积分收敛；如果不存在则称反常积分发散。

### 情况3
设函数 $f(x)$ 在 $[a, c),(c, b]$ 上连续，点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点，如果 $\int_a^c f(x) \mathrm{d} x$ 及 $\int_c^b f(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，则定义

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^b f(x) \mathrm{d} x,
$$

为收敛积分，否则称 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散积分.

若 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in(a, b)$ ，则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ ，其中
当 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点且 $F^{\prime}(a)=f(a)$ 时， $F(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} F(x)$ ； 当 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点且 $F^{\prime}(b)=f(b)$ 时， $F(b)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} F(x)$.

>无界函数的反常积分在形式上与定积分没有区别，故需要注意对它的识别.

`例` 计算反常积分 $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x$.
解 $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x=\left.x \ln x\right|_0 ^1-\int_0^1 \mathrm{~d} x=\left.(x \ln x-x)\right|_0 ^1=-1$,
其中 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(-x)=0$.

`例` 讨论反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x$ 的敛散性.
解 当 $q=1$ 时， $\int_0^1 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln |x|\right|_0 ^2=\ln 1-\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln |x|$, 由于 $\quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln |x|=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln x=-\infty$ ， 极限不存在，故反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 发散； 当 $q \neq 1$ 时， $\int_0^1 \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x=\left.\frac{x^{1-q}}{1-q}\right|_0 ^1=\left\{\begin{array}{cc}+\infty, & q>1 \\ \frac{1}{1-q}, & q<1\end{array}\right.$. 因此 $\int_0^1 \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x

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