最后更新: 2025-04-01 08:37 查看: 128 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

伽玛函数

## 伽玛函数
### 反常积分的审敛法
反常积分的收敛性, 可以通过求被积函数的原函数, 然后按定义取极限, 根据极限的存在与否来判定. 下面给出常见的几种情况

**定理1** 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续, 且 $f(x) \geqslant 0$. 若函数

$$
F(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t
$$

在 $[a,+\infty)$ 上有上界, 则反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.

**定理2** (比较审敛原理) 设函数 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续. 如果 $0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)(a \leqslant x<+\infty)$, 并且 $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 那么 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛; 如果 $0 \leqslant$ $g(x) \leqslant f(x)(a \leqslant x<+\infty)$, 并且 $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散, 那么 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也发散.

**定理3**（比较审敛法 1） 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)(a>0)$ 上连续, 且 $f(x) \geqslant 0$. 如果存在常数 $M>0$ 及 $p>1$, 使得 $f(x) \leqslant \frac{M}{x^p}(a \leqslant x<+\infty)$, 那么反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫 ; 如果存在常数 $N>0$, 使得 $f(x) \geqslant \frac{N}{x}(a \leqslant x<+\infty)$, 那么反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散.

**定理4** (极限审敛法 1) 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续, 且 $f(x) \geqslant 0$. 如果存在常数 $p>1$, 使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^8 f(x)=c<+\infty$, 那么反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛; 如果 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=$ $d>0\left(\right.$ 或 $\left.\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=+\infty\right)$, 那么反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散.

**定理5** 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续. 如果反常积分
$\int_a^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛, 那么反常积分
$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$也收敛.

##  $\Gamma$ 伽玛函数
下面介绍在理论上和应用上都有重要意义的 $\Gamma$ 函数. 这函数的定义是

$$
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x \quad(s>0)  ... （5.1）
$$

首先, 讨论 $(5-1)$ 式右端积分的收敛性问题. 这个积分的积分区间为无穷, 又当 $s-1<0$ 时 $x=0$ 是被积函数的瑕点. 为此, 分别讨论下列两个积分

$$
I_1=\int_0^1 \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x, \quad I_2=\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x
$$
的收敛性.

①先讨论 $I_1$. 当 $s \geqslant 1$ 时, $I_1$ 是定积分; 当 $0<s<1$ 时, 因为
$$
\mathrm{e}^{-x} \cdot x^{t-1}=\frac{1}{\mathrm{e}^x} \frac{1}{x^{1-s}}<\frac{1}{x^{1-s}}
$$
而 $1-s<1$, 根据比较审敛法2 , 反常积分 $I_1$ 收敛.

②再讨论 $I_2$. 因为
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^2 \cdot\left(\mathrm{e}^{-x} x^{s-1}\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{s+1}}{\mathrm{e}^x}=0
$$
根据极限审敛法1 $I_2$ 也收敛。

由以上讨论即得反常积分 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x$ 对 $s>0$ 均收敛. 
$\Gamma$ 函数在实数域上的图形如下图所示.

![图片](/uploads/2024-10/56ac8f.jpg)

### $\Gamma$的几个重要性质

#### 1.递推公式
1. 递推公式 $\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)(s>0)$.

证 应用分部积分法, 有

$$
\Gamma(s+1)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^s \mathrm{~d} x=-\int_0^{+\infty} x^s \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{-x}\right)=\left[-x^s \mathrm{e}^{-x}\right]_0^{+\infty}+s \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x=s \Gamma(s),
$$

其中 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^s \mathrm{e}^{-x}=0$ 可由洛必达法则求得.
显然, $\Gamma(1)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=1$.
反复运用递推公式,便有

$$
\begin{aligned}
& \Gamma(2)=1 \cdot \Gamma(1)=1 \\
& \Gamma(3)=2 \cdot \Gamma(2)=2! \\
& \Gamma(4)=3 \cdot \Gamma(3)=3!, \cdots
\end{aligned}
$$
一般地, 对任何正整数 $n$, 有

$$
\Gamma(n+1)=n!\text {, }
$$

所以，我们可以把 $\Gamma$ 函数看成是阶乘的推广.
#### 2.当 $s \rightarrow 0^{+}$时, $\Gamma(s) \rightarrow+\infty$.

证 因为

$$
\Gamma(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}, \quad \Gamma(1)=1
$$

所以当 $s \rightarrow 0^{+}$时, $\Gamma(s) \rightarrow+\infty$ (1).

#### 3.$\Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}(0<s<1)$.

这个公式称为**余元公式**, 在此我们不作证明.

当 $s=\frac{1}{2}$ 时,由余元公式可得
$$
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
$$

#### 4.在 $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x$ 中, 作代换 $x=u^2$, 有

$$
\Gamma(s)=2 \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^2} u^{2 s-1} \mathrm{~d} u
$$

再令 $2 s-1=t$ 或 $s=\frac{1+t}{2}$, 便有

$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^2} u^t \mathrm{~d} u=\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1+t}{2}\right) \quad(t>-1) .
$$

上式左端是实际应用中常见的积分, 它的值可以通过上式用 $\Gamma$ 函数计算出来.
上式中, 令 $s=\frac{1}{2}$, 得

$$
2 \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{~d} u=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
$$

从而

$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{~d} u=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

即
$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$
上式左端积分在概率论中常用。
详见[伽玛分别](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=960)

## 阅读：伽玛函数的由来

当您第一次看到伽玛函数时，你有没有想过为什么要创造这样一个看起来很复杂又无规律的积分函数？其实伽玛函数并不是凭空产生的。
伽玛函数的理由来自函数图像的绘图。在初中我们学过“描点”绘图，比如要绘出$y=x^2$的图像，其中$x$是实数，我们很容易想到，把实数$x$用自然数$n$代替，然后取$n=-2,-1,0,1,2$ 可以得到5个点，把这5个点用曲线连接起来，这就是$y=n^2$图像 如下
 ![图片](/uploads/2024-09/5a2798.jpg){width=300px}
 然后我们就想当然的认为$y=x^2$和$y=n^2$长相类似，后者就是前者的粗略版。
 
 有了这个想法，我们现在要问一个问题：$y=x!$的图像是多少(x!表示$x$的阶乘)（点击查看[阶乘定义](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=200) ）
 我们已经知道$5!=5*4*3*2*1,  4!=4*3*2*1,... 1!=1$ 既然已经知道$n!$得值，那么把这些点连接起来，是不是就是$y=x!$的图形呢？
 例如：
  ![图片](/uploads/2024-10/017783.jpg)
 把这些点连接起来，会是 $y=x!$的图像吗？
  ![图片](/uploads/2024-10/5c8175.jpg)
 
 
 
 求 $n!$ 的通用公式，即求该曲线的函数表达式。由于需要把阶乘推广到实数，所以最终求得的函数中不能包含阶乘运算。

欧拉最终解决了 $n!$ 通用公式的问题，他通过研究如下函数找到了解决办法

$$
J(e, n)=\int_0^1 x^e(1-x)^n d x
$$

此处 $n$ 为正整数， $e$ 为正实数。利用分部积分法，很容易证明

$$
J(e, n)=\frac{n}{e+1} J(e+1, n-1)
$$

连续使用上面递推公式，有

$$
J(e, n)=\frac{1 \cdot 2 \cdots n}{(e+1)(e+2) \cdots(e+n+1)}
$$

于是欧拉得到如下重要公式。

$$
n!=(e+1)(e+2) \cdots(e+n+1) \int_0^1 x^e(1-x)^n d x
$$

欧拉应用各种参数替换数学技巧与极限思想，成功推导出Gamma函数。

$$
\Gamma(x+1)=\int_0^1(-\log t)^x d t=\int_0^{\infty} t^x e^{-t} d t
$$

下表列出了伽玛函数的一些特殊值
$$
\begin{aligned}
& \Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{4}{3} \sqrt{\pi} \approx 2.363271801207 \\
& \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=-2 \sqrt{\pi} \approx-3.544907701811 \\
& \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \approx 1.772453850906 \\
& \Gamma(1)=0!=1 \\
& \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2} \sqrt{\pi} \approx 0.886226925453 \\
& \Gamma(2)=1!=1 \\
& \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{4} \sqrt{\pi} \approx 1.329340388179 \\
& \Gamma(3)=2!=2 \\
& \Gamma\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{15}{8} \sqrt{\pi} \approx 3.323350970448 \\
& \Gamma(4)=3!=6
\end{aligned}
$$

下图显示在实数域上伽玛函数的图像。

![图片](/uploads/2024-10/ee27f7.svg)

下图下述伽玛函数（蓝色）和阶乘（点图）在拟合度对比图
 ![图片](/uploads/2024-10/eb9e3e.svg)
 
 
因为gamma和阶乘函数增长如此之快，所以许多计算环境都包含一个返回gamma函数的自然对数的函数，在编程环境中通常命名为lgamma或lngamma，这种增长要慢得多
 
 在复数领域其值近似为 
 $$
\log \Gamma(z) \approx\left(z-\frac{1}{2}\right) \log z-z+\frac{1}{2} \log (2 \pi)
$$
图像如下（−2− 2i 到 2 + 2i）
 ![图片](/uploads/2024-10/72e115.svg)

由于Gamma函数在实数域具有阶乘性质：Γ(x + 1) = x * Γ(x)，所以可以把很多具有阶乘性质得自然数应用推广到实数域，离散特性推广为连续特性。比如对函数的整数次求导推广到实数次求导，二项分布推广为Beta分布。Gamma函数与泊松分布等共轭，Gamma函数在数论以及高维空间计算球体积中也有应用。

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