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伽玛函数

## 伽玛函数
### 反常积分的审敛法
反常积分的收敛性, 可以通过求被积函数的原函数, 然后按定义取极限, 根据极限的存在与否来判定. 下面给出常见的几种情况

**定理1** 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续, 且 $f(x) \geqslant 0$. 若函数

$$
F(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t
$$

在 $[a,+\infty)$ 上有上界, 则反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.

**定理2** (比较审敛原理) 设函数 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续. 如果 $0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)(a \leqslant x<+\infty)$, 并且 $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 那么 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛; 如果 $0 \leqslant$ $g(x) \leqslant f(x)(a \leqslant x<+\infty)$, 并且 $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散, 那么 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也发散.

**定理3**（比较审敛法 1） 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)(a>0)$ 上连续, 且 $f(x) \geqslant 0$. 如果存在常数 $M>0$ 及 $p>1$, 使得 $f(x) \leqslant \frac{M}{x^p}(a \leqslant x<+\infty)$, 那么反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫 ; 如果存在常数 $N>0$, 使得 $f(x) \geqslant \frac{N}{x}(a \leqslant x<+\infty)$, 那么反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散.

**定理4** (极限审敛法 1) 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续, 且 $f(x) \geqslant 0$. 如果存在常数 $p>1$, 使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^8 f(x)=c<+\infty$, 那么反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛; 如果 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=$ $d>0\left(\right.$ 或 $\left.\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=+\infty\right)$, 那么反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散.

**定理5** 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续. 如果反常积分
$\int_a^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛, 那么反常积分
$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$也收敛.

##  $\Gamma$ 伽玛函数
下面介绍在理论上和应用上都有重要意义的 $\Gamma$ 函数. 这函数的定义是

$$
\boxed{
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x \quad(s>0)  ... (5.1)
}
$$

首先, 讨论 $(5-1)$ 式右端积分的收敛性问题. 这个积分的积分区间为无穷, 又当 $s-1<0$ 时 $x=0$ 是被积函数的瑕点. 为此, 分别讨论下列两个积分

$$
I_1=\int_0^1 \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x, \quad I_2=\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x
$$
的收敛性.

①先讨论 $I_1$. 当 $s \geqslant 1$ 时, $I_1$ 是定积分; 当 $0<s<1$ 时, 因为
$$
\mathrm{e}^{-x} \cdot x^{t-1}=\frac{1}{\mathrm{e}^x} \frac{1}{x^{1-s}}<\frac{1}{x^{1-s}}
$$
而 $1-s<1$, 根据比较审敛法2 , 反常积分 $I_1$ 收敛.

②再讨论 $I_2$. 因为
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^2 \cdot\left(\mathrm{e}^{-x} x^{s-1}\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{s+1}}{\mathrm{e}^x}=0
$$
根据极限审敛法1 $I_2$ 也收敛。

由以上讨论即得反常积分 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x$ 对 $s>0$ 均收敛. 
$\Gamma$ 函数在实数域上的图形如下图所示.

![图片](/uploads/2024-10/56ac8f.jpg)

### $\Gamma$的几个重要性质

#### 1.递推公式
1. 递推公式 $\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)(s>0)$.

证 应用分部积分法, 有

$$
\Gamma(s+1)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^s \mathrm{~d} x=-\int_0^{+\infty} x^s \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{-x}\right)=\left[-x^s \mathrm{e}^{-x}\right]_0^{+\infty}+s \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x=s \Gamma(s),
$$

其中 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^s \mathrm{e}^{-x}=0$ 可由洛必达法则求得.
显然, $\Gamma(1)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=1$.
反复运用递推公式,便有

$$
\begin{aligned}
& \Gamma(2)=1 \cdot \Gamma(1)=1 \\
& \Gamma(3)=2 \cdot \Gamma(2)=2! \\
& \Gamma(4)=3 \cdot \Gamma(3)=3!, \cdots
\end{aligned}
$$
一般地, 对任何正整数 $n$, 有

$$
\Gamma(n+1)=n!\text {, }
$$

所以，我们可以把 $\Gamma$ 函数看成是阶乘的推广.

> **伽玛函数通俗理解就是阶乘函数。他相当于把阶乘的定义$n!$扩展到了实数域上$x!$ ，而排列组合经常使用阶乘，因此在《概率论与数理统计》的密度函数里，会大量包含伽玛函数**

#### 2.当 $s \rightarrow 0^{+}$时, $\Gamma(s) \rightarrow+\infty$.

证 因为

$$
\Gamma(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}, \quad \Gamma(1)=1
$$

所以当 $s \rightarrow 0^{+}$时, $\Gamma(s) \rightarrow+\infty$ (1).

#### 3.$\Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}(0<s<1)$.

这个公式称为**余元公式**, 在此我们不作证明.

当 $s=\frac{1}{2}$ 时,由余元公式可得
$$
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
$$

#### 4.在 $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} \ma

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