最后更新: 2025-11-22 15:52 查看: 631 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

广义积分

## 广义积分
广义积分是普通定积分概念的一种推广．在过去我们所讨论的定积分中，积分区间是有穷区间．但很多实际问题要求考虑无穷区间上的积分．比如，在静电场中一点的电势被规定为单位正电荷自无穷远点移至该点处电场力所做的功．若用积分表示它就是一个在无穷区间上的积分．在无穷区间上的积分称为**无穷积分**．普通定积分的另外一种推广是允许被积函数在其积分区间内的某一点附近无界．这种点被称为**瑕点**，而积分区间内有瑕点的定积分称做**瑕积分**．无穷积分与服积分统称为**广义积分**．

所谓**含参变量的积分**是指形如

$$
I(t) \equiv \int_a^b f(x, t) \mathrm{d} x
$$

的积分，其中被积函数 $f(x, t)$ 是一个二元函数．一般说来，这样的积分定义了一个关于 $t$ 的函数．我们所关心的问题是：这个函数何时连续、可导，以及可否在积分号下求导数，等等．有重要意义的是含参变量的无穷积分与取积分，它导致了许多常用的特殊函数，特别是 $\Gamma$ 函数与 $B$ 函数．

## 引入无穷积分
定积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 对被积函数和积分区间都有要求.
(1)积分区间为 $[a, b]$, 是有限区间;
(2)被积函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是有界的,一般还要求是连续的.
然而在实际问题中, 往往会遇到不满足上述条件的情形. 例如, 将火箭发射到远离地球的太空中去, 要计算克服地心引力所作的功, 这就需要考虑积分区间为无 限的积分. 因此有必要推广定积分的概念,即把积分区间扩展到无穷区间,比如: $(-\infty, b],[a,+\infty)$ 或 $(-\infty,+\infty)$, 或者被积函数 $f(x)$ 在积分区间内是无界时的情形, 从而形成“反常积分”(广义积分)的概念, 而原来的定积分可以称为常义积分.

先看几个定积分：

$$
\begin{aligned}
& \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\left.\arctan x\right|_0 ^1=\arctan 1=\frac{\pi}{4}, \\
& \int_0^b \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\left.\arctan x\right|_0 ^b=\arctan b ; \\
& \int_1^2 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln x\right|_1 ^2=\ln 2, \\
& \int_1^b \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln x\right|_1 ^b=\ln b .
\end{aligned}
$$

定积分的几何意义是在对应区间上曲边梯形面积的代数和. 现在我们让 $b \rightarrow+\infty$ ，取对应的定积分的极限，则有

$$
\begin{aligned}
& \lim _{b \rightarrow+\infty} \int_0^b \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\left.\lim _{b \rightarrow+\infty} \arctan x\right|_0 ^b=\lim _{b \rightarrow+\infty} \arctan b=\frac{\pi}{2} ; \\
& \lim _{b \rightarrow+\infty} \int_1^b \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\lim _{b \rightarrow+\infty} \ln x\right|_1 ^b=\lim _{b \rightarrow+\infty} \ln b=+\infty .
\end{aligned}
$$

曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}$ 与 $y$ 轴， $x$ 轴正半轴所“围”的图形可以向 $x$ 轴正方向无限延伸 (见图 3-54)，且有“有限”面积 $\frac{\pi}{2}$, 对应的积分极限存在; 而曲线 $y=\frac{1}{x}$ ，与 $x=1$ ， $x$ 轴正半轴所“围”的图形也可以向 $x$ 轴正方向无限延伸 (见图 3-55) ， 同时“面积”也无限增大, 故对应的极限不存在. 这就是我们这一节要讨论的反常积分的 “几何意义". 下面给出反常积分的定义.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212300f98c97.png)

## 反常积分的定义

> **定义1** 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, b]$ 上连续， 取 $a<b$ ，如果极限 $\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty, b]$ 上的反常积分， 记作 $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ ，即
$$
\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x .
$$

如果此极限存在，则称反常积分 $\int_{

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