最后更新: 2025-04-04 07:51 查看: 51 次反馈同步训练

定积分在经济学上的应用

## 定积分在经济学上的应用

### 一，经济学中常见的函数
（1）需求函数：$x=\phi(p)$ ，其中 $x$ 为某产品的需求量，$p$ 为价格．需求函数的反函数：$p=\phi^{-1}(x)$ 称为价格函数，也常称为需求函数．
（2）供给函数：$x=\psi(p)$ ，其中 $x$ 为某产品的供给量，$p$ 为价格．
（3）成本函数：成本 $C=C(x)$ 是生产产品的总投人，它由固定成本 $C_1$（常量）和可变成本 $C_2(x)$ 两部分组成，其中 $x$ 表示产量，即 $C=C(x)=C_1+C_2(x)$ ．

称 $\frac{C}{x}$ 为平均成本，记为 $\bar{C}$ 或 $A C: A C=\bar{C}=\frac{C}{x}=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2(x)}{x}$ ．
（4）收益（人）函数：收益 $R=R(x)$ 是产品售出后所得的收人，是销售量 $x$ 与销售单价 $p$ 之积，即收益函数：$R=R(x)=p x$ ．
（5）利润函数：利润 $L=L(x)$ 是收益扣除成本后的余额，由总收益减去总成本组成，即利润函数：$L=L(x)=R(x)-C(x)$ ，其中 $x$ 为销售量．

### 二，边际函数与边际分析
1．边际函数的有关概念
设 $y=f(x)$ 可导，则在经济学中称 $f^{\prime}(x)$ 为边际函数，$f^{\prime}\left(x_0\right)$ 称为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的边际值。
2．经济学中常用的边际分析
（1）边际成本：设成本函数为 $C=C(q)$（ $q$ 是产量），则边际成本函数为 $M C=C^{\prime}(q)$ ；
（2）边际收益：设收益函数为 $R=R(q)$（ $q$ 是产量），则边际成本函数为 $M R=R^{\prime}(q)$ ；
（3）边际利润：设利润函数为 $L=L(q)\left(q\right.$ 是销售量），则边际利润函数为 $M L=L^{\prime}(q)$ ．

### 三，弹性函数与弹性分析
1．弹性函数的有关概念
设 $y=f(x)$ 可导，则称 $\frac{\Delta y / y}{\Delta x / x}$ 为函数 $f(x)$ 从 $x$ 变到 $x+\Delta x$ 时的相对弹性；称 $\eta=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x}=f^{\prime}(x) \frac{x}{y}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} x$ 为函数 $f(x)$ 的弹性函数，记为 $\frac{E y}{E x}$ ，即 $\eta=\frac{E y}{E x}=f^{\prime}(x) \frac{x}{f(x)}$ ．它在经济学上解释为函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的相对变化率．

2．经济学中常用的弹性分析
（1）需求的价格弹性：设需求函数 $Q=\phi(p)$（ $p$ 为价格），则需求对价格的弹性为 $\eta_d=\frac{p}{\phi(p)} \phi^{\prime}(p)$ ．由于 $\phi(p)$ 是单调减少函数，故 $\phi^{\prime}(p)<0$ ，从而 $\eta_d<0$ ．其经济学中的解释为：当价格为 $p$ 时，若提价（或降价） $1 \%$ ，则需求量将减少（或增加）$\left|\eta_d\right| \%$ 。

需要注意的是：很多试题中规定需求对价格的弹性 $\eta_d>0$ ，此时应该有公式 $\eta_d=-\frac{p}{\phi(p)} \phi^{\prime}(p)$.
（2）供给的价格弹性：设供给函数 $Q=\psi(p)$（ $p$ 为价格），则供给对价格的弹性为 $\eta_s=\frac{p}{\psi(p)} \psi^{\prime}(p)$ ．由于供给函数 $\psi(p)$ 单调增加，故 $\psi^{\prime}(p)>0$ ，从而 $\eta_s>0$ 。其经济学中的解释为：当价格为 $p$ 时，若提价（或降价） $1 \%$ ，则供给量将增加（或减少）$\eta_s \%$ 。

`例` 设商品的需求函数为 $Q=100-5 p$ ，其中 $Q, p$ 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于 1 ，则商品价格的取值范围是 $\qquad$。
解（分析：先按定义写出弹性函数，令 $|\eta|>1$ ，反求出 $p$ 的范围．）由于 $Q^{\prime}=-5$ ，所以

$$
\eta=\frac{Q^{\prime}}{Q} p=\frac{-5 p}{100-5 p}
$$

令 $|\eta|>1$ ，解得 $p>10$ ．又由 $Q \geqslant 0$ ，即 $100-5 p \geqslant 0$ ，得 $p \leqslant 20$ ，所以 $p$ 的取值范围为 $(10,20]$ ．
注：填 $(10,+\infty)$ 是错误的，原因是 $Q$ 是需求函数，应有 $Q \geqslant 0$ ．

`例` 一商家销售某种商品的价格满足关系 $p=7-0.2 x$（万元／吨），$x$ 为销售量（单位：吨），商品的成本函数是 $C=3 x+1$（万元）．
（1）若每销一吨商品，政府要征税 $t$（万元），求该商家获最大利润时的销售量；
（2）$t$ 为何值时，政府税收总额最大？
解（1）依题意，商品销售总收人为 $R=p x=(7-0.2 x) x$ ，总税收额为 $T=t x$ ，则利润函数为
$$
\pi=R-C-T=-0.2 x^2+(4-t) x-1 .
$$

故

$$
\frac{d \pi}{d x}=-0.4 x+4-t
$$

令 $\frac{ d \pi}{ d x}=0$ ，得驻点 $x=\frac{5}{2}(4-t)$ ．又 $\frac{ d

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