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定积分在物理上的应用举例

## 定积分在物理上的应用举例
定积分在物理上的应用相当广泛, 如求具有均匀质量分布的平面曲线和平 面图形的重心, 变速直线运动物体在某时间区间内经过的距离, 物体的转动惯 量和变力做功等. 下面通过实例加以说明.
本节仅介绍应用定积分来计算变力做功和水压力.

## 变力沿直线所作的功

考虑物体受力 $F$ 的作用沿直线从 $a$ 到 $b$ 做功 $W$ ，假设力 $F$ 的方向与物体运动的方向一致，在 $[a, b]$ 的子区间 $[x, x+\mathrm{d} x]$ 上物体受力 $F(x)$ 由 $x \rightarrow x+\mathrm{d} x$ 所做的功的微元为 $\mathrm{d} W=F(x) \mathrm{d} x$ ，从而

$$
\boxed{
W=\int_a^b F(x) \mathrm{d} x .
}
$$

`例`设 $40 \mathrm{~N}$ 的力使弹簧从自然长度 $10 \mathrm{~cm}$ 拉长成 $15 \mathrm{~cm}$, 问需要作多大的功 才能克服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从 $15 \mathrm{~cm}$ 处再拉长 $3 \mathrm{~cm}$ ?
![图片](/uploads/2022-12/image_202212300b170a5.png)
解 取弹簧的平衡点作为原点建立坐标系，如图 3-51 所示.
由物理学知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 $F(x)$ 与伸长量 $x$ 成正比，即 $F(x)=k x$, 其中 $k$ 为比例系数. 当弹簧从 $10 \mathrm{~cm}$ 拉长到 $15 \mathrm{~cm}$ 时, 它伸长量为 $5 \mathrm{~cm}$ $=0.05 \mathrm{~m}$.
  因有 $F(0.05)=40$, 即 $0.05 k=40$, 故得 $k=800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$. 于是可写出 $F(x)=800 x$. 弹簧从 $15 \mathrm{~cm}$ 拉长到 $18 \mathrm{~cm}$ 厘米，即变化区间为 $[0.05,0.08]$.
由于拉力随着伸长量的变化而不断变化, 所以拉力所做的功不能直接用“力 ×位移”来计算. 也就是说, 压力在区间上分布是不均匀的. 把伸缩区间进行分割 分割成许多小区间.由于小区间上点的距离非常近, 我们认为在每个小区间上的 弹簧拉力近似相等, 就可以用恒力做功的计算公式算出拉力对在每个小区上所 做功的近似值. 并且拉力所做功关于区间具有可加性, 因此拉力所做的功可以 用定积分来计算, 就得到整个区间上拉力所做的功.
 
在积分区间 $[0.05,0.08]$ 中任取 $x$ ，做微元区间 $[x, x+\Delta x]$ ，在微元区间上拉力 所作的功即为功的微元

$$
\mathrm{d} W=F(x) \mathrm{d} x=800 x \mathrm{~d} x ，
$$

于是拉力使弹簧拉长 $3 \mathrm{~cm}=0.03 \mathrm{~m}$ 所做的功为

$$
W=\int_{0.05}^{0.08} 800 x d x=\left.400 x^2\right|_{0.05} ^{0.08}=400(0.064-0.025)=1.56 \mathrm{~J}
$$

`例` 设有一直径为 $20 \mathrm{~m}$ 的半球形水池, 池内注满水, 若要把水抽尽, 问至少作多少功.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230f4e26b6.png)
解 如图 3-52 建立直角坐标系，池壁与 面的交线为半圆周 $x^2+y^2=100(x \geq 0)$, 选取 $x$ 为积分变量， $x \in[0,10]$ 区间，与微元区间 $[x, x+\mathrm{d} x]$ 对应的是厚度为 $\mathrm{d} x$ 的一层水，微元 上的这层水的体积

$$
\Delta V \approx \pi y^2 \Delta x=\pi\left(100-x^2\right) \Delta x\left(m^3\right),
$$

其所受的重力为 $\mathrm{d} F \approx \rho g \mathrm{~d} V=g \pi \rho x\left(100-x^2\right) \mathrm{d} x(k N)$.
把这层水抽出，至少需要提升 $x(m)$ 距离. 故需作的功为

$$
\Delta W \approx g \rho \pi\left(100-x^2\right) \Delta x \cdot x=g \pi \rho x\left(100-x^2\right) \Delta x \mathrm{~J},
$$

其中 $\rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ 是水的密度， $g=9.8 / \mathrm{s}^2$ 是重力加速度. 故作功微元

$$
\mathrm{d} W=g \pi \rho x\left(100-x^2\right) \mathrm{d} x .
$$

所求功为

$$
\begin{aligned}
W & =\int_0^{10} g \pi \rho x\left(100-x^2\right) \mathrm{d} x=g \pi \rho \int_0^{10} x\left(100-x^2\right) \mathrm{d} x=g \frac{\pi \rho}{4} \times 10^4 \\
& =2500 \pi \rho g \approx 7.693 \times 10^7(J) .
\end{aligned}
$$

## 水压力

在物理中我们学过，液体内部在任何方向上都有压强（单位面积上的压力），而且在同一个深度任何方向上的压强都相等。在液面下深度为 $h$ 处面积为 $S$ 的水平放置的平板上受到的压力 $F$ ，等于底面积为 $S$ 、高为 $h$ 的液柱所受到的重力，即
（压力）$F=p S=S h \rho g$（ $p$ 为压强，$\rho$ 为液体的密度，$g$ 为重力加速度）．

![图片](/uploads/2025-09/716ff0.jpg){width=300px}

现在要计算液体对容器的垂直壁上的由曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴以及直线 $x=a, x=b$ 所围成曲边梯形 $A B C D$ 的压力，它的上缘 $A D$ 位于液面下的深度为 $a$ 的地方 （如图）

设垂直壁上深度为 $x$ 到 $x+\mathrm{d} x$ 之间微小曲边梯形所受的

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