最后更新: 2025-03-04 09:58 查看: 445 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

线性变换的意义

在大多数的教科书中, 线性映射和线性变换被区别为两个概念。如果映射是发生在一个集合上的同一个坐标系中, 线性映射就被称为线性变换。线性变换作为线性映射的特例, 就是把集合上的两个坐标系合并为一个。

例如把二维平面圆的映射整合成变换如图 1-16 所示, 以原点为不变轴心, 把 $\Pi_2$ 平面旋转放平, $y_1$ 轴重合于 $x_1$ 轴, $y_2$ 轴重合于 $x_2$ 轴, 两平面合二为一。整合后的图形用平面直角坐标系表示就是图 1-17。
![图片](/uploads/2023-11/image_20231111294bfdd.png)

![图片](/uploads/2023-11/image_202311112525774.png)
直角坐标系下的图形清楚地显示了一个圆被线性变换为一个椭圆。相应地，圆上的一个向量 $\boldsymbol{a}_1$ 映射为椭圆上的向量 $\boldsymbol{b}_1$ 。圆和椭圆都在同一个线性空间——平面上 (平面就是空间)。

在线性代数中, 我们主要讨论的是由矩阵所决定的线性变换的各种特性。下面看两个具体的线性变换的例子 (下面的 “'”为线性变换 $T($ ) 的另一种简单写法)。
在平面上所有从原点出发的向量构成的二维线性空间中, 把所有向量绕原点作同样角度的旋转是一个线性变换。
如图 1-18 中向量旋转角度是直角。这时向量的和 $\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2\left(=\boldsymbol{a}_3\right)$ 旋转所得到的向量 $\boldsymbol{a}_3{ }^{\prime}$ 恰好等于 $\boldsymbol{a}_1$ 和 $\boldsymbol{a}_2$ 旋转所得到的向量 $\boldsymbol{a}_1{ }^{\prime}$ 和 $\boldsymbol{a}_2{ }^{\prime}$ 之和 $\boldsymbol{a}_1{ }^{\prime}+\boldsymbol{a}_2{ }^{\prime}$; 数 $k$ 与向量 $\boldsymbol{a}_1$ 的乘积 $k \boldsymbol{a}_1$ 旋转所得到的向量 $\left(k \boldsymbol{a}_1\right)^{\prime}$ 恰好等于数 $k$ 与向量 $\boldsymbol{a}_1$ 旋转所得到的 $\boldsymbol{a}_1{ }^{\prime}$ 的数乘积 $k \boldsymbol{a}_1{ }^{\prime}$ 。这就是说:

$$
\begin{gathered}
\left(a_1+a_2\right)^{\prime}=a_1{ }^{\prime}+a_2{ }^{\prime}, \\
\left(k a_1\right)^{\prime}=k a_1{ }^{\prime} 。
\end{gathered}
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_20231111daad67d.png)
另一个例子 (见图 1-19): 在建立了空间笛卡尔直角坐标系的三维向量空间中, 把每一个向量投影在坐标面 $x o y$ 上, 也是一个变换（投影变换）。这时, 向量 $\boldsymbol{a}=\cdot(a, b, c)$, 在此变换下的像为 $\boldsymbol{a}^{\prime}=(a, b, 0)$, 不难推知, 此时也有 $\left(\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2\right)^{\prime}=\boldsymbol{a}_1{ }^{\prime}+\boldsymbol{a}_2{ }^{\prime},(k \boldsymbol{a})^{\prime}=k \boldsymbol{a}^{\prime}$ 。
![图片](/uploads/2023-11/image_20231111ed507d0.png)
这两个变换有一个共同的性质: 两个向量之和变换后, 所得的向量恰好是把这两个向量变换后所得向量之和; 数 $k$ 与一个向量数乘后进行变换, 所得的向量恰好是数 $k$ 与把此向量变换后所得向量的乘积。此即所谓的可加性和比例性。这种使向量之间加法与数乘法关系都不受影响的变换——线性变换, 它与线性空间的运算相适应, 能够反映线性空间中向量的内在联系, 是线性空间的重要变换。故线性变换的定义如下:
数域 $F$ 上线性空间 $V$ 中的变换 $T$ 若满足条件:

$$
\begin{aligned}
& T(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=T \boldsymbol{a}+T \boldsymbol{b} \quad(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in V) \\
& T(k \boldsymbol{a})=k T \boldsymbol{a} \quad(k \in F, \boldsymbol{a} \in V)
\end{aligned}
$$

则称 $T$ 为 $V$ 中的线性变换。

下面介绍2个常见的映射。

## 向量缩放

缩放变换中，如果一个图片以原点 $(0,0)$ 为中心缩放 $s$ 倍。那么点 $(x, y)$ 变换后数学形式可以表示为

$$
\begin{aligned}
& x^{\prime}=s x \\
& y^{\prime}=s y
\end{aligned}
$$

写成矩阵形式为：

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

当然，我们也可以给 x 轴和 y 轴不同的缩放倍数 $s x$ 和 $s y$ 。在非均匀情况下，缩放变换的矩阵形式为

$$
\boxed{
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right] ...(\text{图像缩放公式})
}
$$

下图展示了图像缩放示意图
 ![图片](/uploads/2025-03/802f48.jpg){width=600px}

## 图像旋转
 我们默认旋转变换（Rotate）都绕着原点$ (0, 0)$ 旋转，并且默认旋转方向为逆时针方向（逆时针方向旋转角度值为正，顺时针旋转角度值为负），当一个点 $(x,y)$绕着原点$(0,0)$旋转$\theta$角时，变换矩阵可以表示为：
 
 $$
 \boxed
 {
 \left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]  ...(\text{图像旋转公式})
}
$$
 
### 证明

我们在直角坐标系中绘制一个边长为 1 的正方形，点 $A$ 坐标为 $(1,0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(0,1)$ 。正方形沿着原点 $(0,0)$ 旋转的角度为 $\theta$ 角 参考下图。
 ![图片](/uploads/2025-03/09a917.jpg){width=500px}

我们设原坐标里任一点$(x,y)$ 经过旋转后，在新坐标为$(x',y')$,现在找一下新旧坐标系下“点”的关系。

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

接下来去两个特殊点，代入点 $A$ 的的值 $(1,0)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{aligned}
& A=\cos \theta \\
& C=\sin \theta
\end{aligned}
$$

代人点 $B$ 的的值 $(0,1)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
-\sin \theta \\
\cos \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{array}{r}B=-\sin \theta \\ D=\cos \theta \end{array}
$$

因此，坐标旋转公式为
$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

下图显示了一个图形旋转
 ![图片](/uploads/2025-03/4c1896.jpg){width=600px}

## 计算机图形学
计算机图形是在计算机屏幕上显示或活动的图像．计算机图形学的应用广泛，发展迅速．例如，计算机辅助设计（CAD）是许多工程技术的组成部分之一，在最简单的二维图形符号中，字母用于在屏幕上做标记．某些字母作为线框对象存储，其他有弯曲部分的字母还要将曲线的数学公式也存储进去．

`例` 图2-15中的大写字母 N 由 8 个点组成，计算机里存储这8个点的坐标到矩阵$D$中．(只要存储这8个点，在计算机渲染时，把对应点自动连接起来，就显示出了字母$N$)

![图片](/uploads/2025-03/e71311.jpg){width=300px}
 
 
  ![图片](/uploads/2025-03/2a423f.jpg){width=550px}
  
当描述这些对象的顶点被变换以后，他的图像也就跟着变换。

`例` 给定 $A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0.25 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 描述剪切变换 $x \mapsto A x$ 对上例 中字母 N 的作用．

解 由矩阵乘法的定义，乘积 $A D$ 的各列给出字母 N 各顶点的像．

![图片](/uploads/2025-03/d09d3c.jpg){width=550px}

变换过的顶点画在图 2－16，同时还画上相应于原来图形中连线的线段．
图 2－16 中斜体的 N 看来有些太宽，为此，我们可以用倍乘变换使它变窄．

![图片](/uploads/2025-03/e36e1d.jpg){width=300px}
 
 
 `例` 先作如上例的剪切变换，然后再把 $x$ 坐标乘以一个因子 0.75 ，求此复合变换的矩阵．
解 把每个点的 $x$ 坐标乘以 0.75 的矩阵为

$$
S=\left[\begin{array}{ll}
0.75 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

所以复合变换的矩阵是

$$
S A=\left[\begin{array}{ll}
0.75 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
1 & 0.25 \\
0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0.75 & 0.1875 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

复合变换的结果如图 2－17 所示．

![图片](/uploads/2025-03/067b1a.jpg){width=300px}
  
更详细介绍参考 [矩阵乘法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1380)

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