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近世代数对数学的整体思考

## 近世代数对数学的整体思考

参考下图:一个个数字或者物体被称作**元素**，元素放在一起组成了**集合**(这个高中就学过)，集合元素支持二元运算则组成了**空间**，如果空间满足八大性质(加法、数乘、交换律、结合律、单位元等)则被定义为**线性空间**。空间里元素的距离称为**度量空间**。我们需要一个尺子作为度量的基准，这个尺子被称为**范数**，含有范数的空间称为**线性赋范空间**，如果数据之间没有间隙(也就是数据具备完备性）称为**巴拿赫空间**。
 
另一方面，如果在线性空间基础上定义了内积（长度和角度）则称为**内积空间**。内积空间完备后后是**希尔伯特空间**，希尔伯特空间在实数域并且是有限维度的则称呼为**欧几里得空间**。

在整个代数空间里，还可以往另外两个方向抽象：
（1）我们默认处理的数都是实数，如果把数从实数延伸到复数，就成了复数空间，简称**酉空间**，如果里面的数据以面积为主，则称作**辛空间**
 
（2）在上面的处理中，要测量向量需要一把“尺子”，我们把所有可能的尺子组成的空间称作**对偶空间**。对偶空间中的零向量是零泛函，它将每个向量 v 都映射到标量 0，对偶空间是主要用于张量分析里，例如在量子力学里，量子的动量同时受到p和v测量的影响。
 
详细的空间体系大致如下:
 
  ![图片](/uploads/2025-10/59ff05.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-10/b212c1.jpg)

> 在线性空间里，要特别强调一下数的**封闭性**， 如果集合$V$里的数进行加减乘除仍在$V$里，则$V$称为**封闭数域**，比如“**全体有理数**”就是一个封闭数域，因为任何有理数的加减乘除仍在有理数里，但是“**全体整数**”就不是封闭数域，因为两个数相除有可能是分数。

在代数空间定义了向量之间的运算，如下表，包括了：空间的距离、加法、数乘、内积、领域等。 
  
   ![图片](/uploads/2025-10/755cb8.jpg)

### 一、空间
把多个元素放在一起就构成了集合，如 $\left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\}$ 。但是集合是松散，我们还需要定义各个元素之间的"关系"或者说"结构"，加上这层"关系"和"结构"之后，就构成了一个空间 
 
 
 
###  二、线性空间(向量空间)  
在空间里，定义一个操作，如果操作满足下面八条性质，则称作线性空间或者向量空间。

![图片](/uploads/2025-10/b6ad15.jpg)
  
当然上面八条性质核心是加法和数乘，因此也有人说是两大性质，其余六条性质都可以推到出来。但是，使用八大性质更容易推理。
 
 
 
### 三、度量空间 
如果想把集合中任意的两个元素建立"关系"，首先想到的可能就是去描述它们之间的"距离"。定义了距离的空间称为度量空间。距离的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $d(x, y) \geq 0$
- 非退化性: $d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y$
- 对称性: $d(x, y)=d(y, x)$
- 三角不等式+: $d(x, y)+d(y, z) \geq d(x, z)$

因为定义了距离，因此在度量空间中有了长度的概念。 
 
 
 ### 四、线性赋范空间 
定义了范数的线性空间称为线性赋范空间。范数的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $\|x\| \geq 0$
- 非退化性： $\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0$
-齐次性+: $|a x \|=| a|\cdot||x| \mid$
- 三角不等式： $\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$
范数可以理解为空间中一个元素到零元的距离。因此，我们很容易根据范数的定义诱导出距离的定  ，如 $d(x, y)=\|x-y\|$ 。因此通常我们认为赋范空间也是一种度量空间。

值得注意的是，在范数的定义过程中，非退化性要求该空间内一定有一个零元，齐次性要求对乘法封闭，三角不等式要求对加法封闭。因此，范数必须定义在线性空间内  ，一个赋范空间一定是线性的，称为线性赋范空间。

### 五、内积空间 
定义了内积的线性空间称为内积空间。内积的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $\langle x, x\rangle \geq 0$

- 非退化性： $\langle x, x\rangle=0 \Leftrightarrow x=0$
- 共轭对称性 :$\langle x, y\rangle=\overline{\langle y, x\rangle}$
- 第一变元线性: $\langle a x+b y, z\rangle=a\langle x, z\rangle+b\langle y, z\rangle$
- 第二变元共轭线性: $\langle z, a x+b y\rangle=\bar{a}\langle z, x\rangle+\bar{b}\langle z, y\rangle$

关于距离、范数和内积的总结如下图

![图片](/uploads/2025-10/e1fa38.jpg)
 
  
> 事实上，定义了内积以后也很容易诱导出范数的定义，如 $\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}$ 。因此，通常我们认为内积空间也是一种赋范空间，同时也是一种度量空间。

> 定义了内积和范数，就可以定义线性空间中两个向量的夹角，即 angle $(x, y)=\frac{\langle x, y\rangle}{\|x\| \cdot\|y\|}$ 。因此，在内积空间中，我们有了长度和角度的概念。

下面的例题对上面进行了简单的解释。详见 [向量单位化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1598)

`例` 已知三维空间里有2个向量，我们可以求出其中的部分数据。
$$
\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right),
\boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\  3  \end{array}\right)
$$

![图片](/uploads/2024-12/295703.jpg)

解：
①求向量的长度。  
$||x||$=$\sqrt{(-1)^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$
$||y||$=$\sqrt{(1)^2+0^2+3^2}=\sqrt{10}$

② 求2个向量的夹角
$[[x,y]=-1*1+2*0+3*3=8$
所以夹角 $ \theta=\arccos \frac{8}{14*10}=\arccos \frac{2}{35}$

③ 求测量向量的尺子。可以有多个尺子

$$
\vec{e}= \frac{x}{||x||}=
\left(\begin{array}{l}-1/\sqrt{14} \\ 2/\sqrt{14} \\ 3/\sqrt{14} \end{array}\right) 
$$

或
$$
\vec{e}= \frac{x}{||x||}=
\left(\begin{array}{l}1/\sqrt{10} \\ 0/\sqrt{10} \\ 3/\sqrt{10} \end{array}\right) 
$$

### 六、希尔伯特空间和完备性
希尔伯特空间，即完备的内积空间。那么什么是完备性 (completeness) 呢? 这里需要介绍一下收敛列和柯西列

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