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线性代数
引言 线性代数的意义
线性空间与酉空间
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2025-03-12 10:03
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线性空间与酉空间
## 线性空间 在上面 [近世代数对数学的整体思考](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602) 介绍了线性空间，如下 参考下图:一个个数字或者物体被称作**元素**，元素放在一起组成了**集合**(这个高中就学过)，集合排在一起组成了**空间**，如果空间满足八大性质(交换律、结合律等)则被定义为**线性空间**。空间里元素的距离称为**度量空间**。我们需要一个尺子作为度量的基准，这个尺子被称为**范数**，含有范数的空间称为**线性赋范空间**，具备完备后称为**巴拿赫空间**。  但是上面这些定义都是在实数范围内，如果扩展到复数范围，就是酉空间。 ## 酉空间 参考上图欧几里得空间(欧氏空间)是专对实数域上线性空间而讨论的．酉空间实际就是复数域上的欧氏空间。 **定义** 设 $V$ 是复数域上的线性空间，在 $V$ 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 $( \alpha , \beta )$ ，它具有以下性质： 1）$( \alpha , \beta )=\overline{( \beta , \alpha )}$ ，这里 $\overline{( \beta , \alpha )}$ 是 $( \beta , \alpha )$ 的共轭复数； 2）$(k \alpha , \beta )=k( \alpha , \beta )$ ； 3）$( \alpha + \beta , \gamma )=( \alpha , \gamma )+( \beta , \gamma )$ ； 4）$( \alpha , \alpha )$ 是非负实数，且 $( \alpha , \alpha )=0$ 当且仅当 $\alpha =0$ ， 其中 $\alpha , \beta , \gamma$ 是 $V$ 中任意的向量，$k$ 为任意复数，这样的线性空间称为**酉空间**． 例 在线性空间 $C ^n$ 中，对向量 $$ \alpha =\lef
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近世代数对数学的整体思考(线性空间、欧氏空间、酉空间、巴拿赫空间)
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