最后更新: 2025-03-12 10:03 查看: 26 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

线性空间与酉空间

## 线性空间
在上面 [近世代数对数学的整体思考](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602) 介绍了线性空间，如下

参考下图:一个个数字或者物体被称作**元素**，元素放在一起组成了**集合**(这个高中就学过)，集合排在一起组成了**空间**，如果空间满足八大性质(交换律、结合律等)则被定义为**线性空间**。空间里元素的距离称为**度量空间**。我们需要一个尺子作为度量的基准，这个尺子被称为**范数**，含有范数的空间称为**线性赋范空间**，具备完备后称为**巴拿赫空间**。
  ![图片](/uploads/2024-09/ba6554.jpg)
  
但是上面这些定义都是在实数范围内，如果扩展到复数范围，就是酉空间。

## 酉空间
参考上图欧几里得空间(欧氏空间)是专对实数域上线性空间而讨论的．酉空间实际就是复数域上的欧氏空间。

**定义**  设 $V$ 是复数域上的线性空间，在 $V$ 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 $( \alpha , \beta )$ ，它具有以下性质：

1）$( \alpha , \beta )=\overline{( \beta , \alpha )}$ ，这里 $\overline{( \beta , \alpha )}$ 是 $( \beta , \alpha )$ 的共轭复数；
2）$(k \alpha , \beta )=k( \alpha , \beta )$ ；
3）$( \alpha + \beta , \gamma )=( \alpha , \gamma )+( \beta , \gamma )$ ；
4）$( \alpha , \alpha )$ 是非负实数，且 $( \alpha , \alpha )=0$ 当且仅当 $\alpha =0$ ，
其中 $\alpha , \beta , \gamma$ 是 $V$ 中任意的向量，$k$ 为任意复数，这样的线性空间称为**酉空间**．
例 在线性空间 $C ^n$ 中，对向量

$$
\alpha =\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right), \quad \beta =\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)
$$

定义内积为

$$
( \alpha , \beta )=a_1 \bar{b}_1+a_2 \bar{b}_2+\cdots+a_n \bar{b}_n
$$

显然，内积（1）满足定义  中的条件．这样， $C ^n$ 就成为一个西空间．

## 酉矩阵
对 $n$ 阶复矩阵 $A$ ，用 $\overline{ A }$ 表示以 $A$ 的元素的共轭复数作元素的矩阵．如 $A$ 满足 $\bar{A}^{ T } A=A \bar{A}^{ T }=E$ ，就叫做**酉矩阵**．它的行列式的绝对值等于 1

## 酉变换
酉空间 $V$ 的线性变换 $A$ ，如果满足

$$
( A \alpha , A \beta )=( \alpha , \beta ),
$$

就称为 $V$ 的一个酉变换．酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵．

如矩阵 $A$ 满足

$$
\bar{A}^{T}=A,
$$

则叫埃尔米特矩阵．在酉空间 $C ^n$ 中令

$$
A \left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$

则

$$
( A \alpha , \beta )=( \alpha , A \beta )
$$

$A$ 也是对称变换．．

上一篇：近世代数对数学的整体思考(线性空间、欧氏空间、酉空间、巴拿赫空间)

下一篇：酉空间，酉矩阵，辛空间，辛矩阵这样的译名缘由

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