最后更新: 2025-12-18 10:33 查看: 531 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

连续型(指数分布与无记忆性)★★★★★

> 注：在概率论里，和连续分布相关的基本上都和“时间”相关，因为时间是连续的。泊松过程的三个重要分布在概率论和随机过程理论中经常出现，它们分别是：**[泊松分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=527)**（Poisson Distribution）：描述固定时间内发生事件的数量。**[指数分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=531)**（Exponential Distribution）：描述事件间隔时间的分布。**[伽马分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=960)**（Gamma Distribution）：描述多个事件发生时间的分布。点击他们的分布链接可以了解三者之间的区别和联系。

> 生活中，某个特定事件发生所需要的等待时间往往服从指数分布，例如，许多电子元件的使用寿命、电话的通话时间、母鸡下蛋的等待时间，球场等待进球的时间等都可以认为是服从指数分布的

## 指数分布
 如果随机变量 $X$ 的密度函数为

$$
\boxed{
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & x>0 \\
0 & \text { 其余 }
\end{array}\right. ...(1)
}
$$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X \sim E(\lambda),(\lambda>0)$.

指数分布的密度函数图像。
 ![图片](/uploads/2024-11/8fb5b4.svg){width=450px}

指数分布的分布函数如下图

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
1-\mathrm{e}^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
0 & x<0
\end{array}\right.
$$

## 理解：指数分布里的 $\lambda$ 是什么意思？
在[泊松分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=527)里介绍了 $\lambda$表示的是速率，其实指数分布里$\lambda$ 也表示速率的意思。

**泊松分布**:主要预测**单位时间内事件发生的平均次数**。 例如医院每天接生10个婴儿，预测**下一天**接生1个婴儿，2个婴儿，10个婴儿，100个婴儿的概率是多少，这是泊松分布的目的。

**指数分布**：主要预测**描述某个事件发生之前，我们需要等待的时间长度**， 比如公交车每2个小时来一班公交车，即$\lambda=0.5(次/小时)$ ，也就意味着平均每小时发生 0.5 次事件。我们想知道**下一班公交车**在 10分钟内到来的概率，在20分钟内到来的概率，在1小时内到来的概率，在1天内到来的概率。这就是指数分布的目的。

## 指数分布的另外一种形式
在指数分布里，如果令 $\lambda=\frac{1}{\theta}$ 则密度函数可以写成

$$
\boxed{
f(x)=\left\{\begin{array}{c}
  \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}  \\
0 & \text { 其余 }
\end{array}\right. ...(2)
}
$$

这里的$\theta$称作**尺度参数**或**均值参数**。

λ 的含义：它表示单位时间内事件发生的平均次数。
例如，如果 λ = 0.5（次/小时），意味着平均每小时发生 0.5 次事件，或者说平均每 2 小时发生 1 次事件。λ称作速率参数。

$\theta$ 的含义是事件发生的平均等待时间。
接上例，λ = 0.5，则 $\theta$ = 1/0.5 = 2（小时）。这意味着平均需要等待 2 小时，事件才会发生一次。
所以，**λ 越大，事件发生的越频繁，平均等待时间 $\theta$ 就越短**

`例` 某客服中心平均每 5 分钟接到一个电话（即 λ = 1/5 = 0.2 个电话/分钟）。假设来电间隔服从指数分布，求：
1.  下一个电话在 3 分钟内打来的概率是多少？
2.  平均每隔多久会接到一个电话？
3.  如果已经等了 10 分钟没电话，那么再等 2 分钟以上才接到电话的概率是多少？

**解答**：
已知 λ = 0.2。

1.  **求 P(X ≤ 3)**：
    使用 CDF 公式：$P(X \le 3) = 1 - e^{-0.2 \times 3} = 1 - e^{-0.6}$
    $e^{-0.6} \approx 0.5488$
    所以，$P(X \le 3) = 1 - 0.5488 = 0.4512$
    **答**：约有 45.12% 的概率，下一个电话会在 3 分钟内打来。

2.  **求平均等待时间**：
    E[X] = 1 / λ = 1 / 0.2 = **5 分钟**
    **答**：平均每隔 5 分钟接到一个电话。（这与题目给出的条件一致）

3.  **利用无记忆性求 P(X > 12 | X > 10)**：
    根据无记忆性：P(X > 10 + 2 | X > 10) = P(X > 2)
    计算 P(X > 2)：P(X > 2) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - [1 - e^{-0.2 \times 2}] = e^{-0.4}
    $e^{-0.4} \approx 0.6703$
    **答**：即使已经等了 10 分钟，再等 2 分钟以上才接到电话的概率仍然是约 67.03%。这体现了无记忆性。

## 为什么我们必须发明指数分布？ 
在理解指数分布前，建议已经阅读了[泊松分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=527)。泊松分布是预测固定时间内发生事件的数量，比如网站每周有17个点赞，我想预测下周有10个人点赞的概率。所以泊松分布预测的时间间隔是固定的。

那为什么我们必须发明指数分布？答案是预测直到下一个事件（即成功，失败，到达等）的等待时间！例如，我们要预测以下内容的时间间隔：
``` 
电脑硬件出现故障的时间间隔
你需要等待直到公交车到达的时间间隔
餐馆开业第一个客人到来等待的时间价格
```

那么，我的下一个问题是：为什么直到发生下一个事件的时间概率密度是：

$$
f_T(t)=\lambda \star e^{-\lambda t}
$$

进一步的，后续问题将是：

$$
X \backsim \operatorname{E}(0.25)
$$

0.25 是什么意思？表示 0.25 分钟、小时或天，还是 0.25 个事件？
 
指数分布 $X \sim \operatorname{E}(\lambda)$ 中 $\lambda$ 与泊松分布中 $X \sim \operatorname{P}(\lambda)$  的 $\lambda$ 相同吗？

**请记住以下说明，为防止参数混淆，$X \sim \operatorname{E}(0.25)$ 中， 0.25 不是一个持续时间，它是一个事件速率，这与泊松过程参数 $\lambda$ 意义完全相同。**

例如，您的博客每天有 500 位访问者，是一个事件速率，一小时内到达商店的顾客数量是一个速率，每年发生的地震数量是一个速率，一周内发生的车祸数量是一个速率，页面上的错字数量等都是时间单位内的速率，它是泊松分布的参数 $\lambda$ 。

>**指数分布里的 $\lambda$表示速率，即单位时间内事故发生的次数，但是我们日常生活中，对事件经过的建模，我们倾向于用时间间隔而不是速率来表示，
例如，计算机可以正常开机的年数是

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