最后更新: 2025-12-17 09:16 查看: 479 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

连续型(正态分布-Part1)

### 引例1
假设你的老妈担心你的单身生活，为此，在相亲网站给你寻找相亲对象，她把你的照片放到了相亲网站后，一下子吸引来了200多个女性留言，要与你"私定终身"。老妈为了提高篮选效率，于是乎就建了一个微信群，让所有人报一下自己准确的身高。
为了统计方便。她以5厘米为单位，数一数每一段5厘米各有多少人。接着用身高为横轴，人数为纵轴，画了下面这张图。
仔细看这张图，你和老妈发现一个惊人的秘密:这张图形状是中间高，两边低，长得像一只倒扣的钟。这意味着什么？意味着大部分女性身高在155-160cm之间，身高低于145cm或者高于170cm的都比较少。

![图片](/uploads/2025-09/0c7633.jpg){width=400px}

### 引例2
一包米的外包装上标示的质量是5000g，但实际上是有误差的，假设包装米的公司没有偷工减料，计量员精确地检测所有在售的该种米，把米包质量的频率分布直方图画出来，以10g为一组，绘出实际质量，会是一个什么形状呢？
下图中是一条峰值在5000g左右的曲线，横坐标表示实际质量，纵坐标表示频率，可以发现它有一个单峰，长得也像一只倒扣的钟． 也就是以5000g为中心，大部分质量都在5000g左右浮动，低于4955g和高于5045g的都很少。

![图片](/uploads/2025-09/463b0a.jpg){width=400px}
 
 
 从引例1和引例2可以看到，尽管问题环境不同，但是其结论类似。
 
 ## 正态分布
上面两个数据分布被称为正态分布，正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布, 高斯 (Gauss, 1777-1855) 在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布, 所以正态分布又称为**高斯分布**.

后续的中心极限定理表明:一个随机变量如果是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果, 那么这个变量一般都可以认为服从正态分布. 因此很多随机变量可以用正态分布描述或近似描述,世界上很多事物都符合正态分布曲线， 大到金融、股市，小到心率、血压， 考试成绩、身高等。甚至连超市入口停放的机动车都符合正态分布。

## 正态分布的密度函数

若随机变量 $X$ 的密度函数为

$$
\boxed{
f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} } \mathrm{e}^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, \quad-\infty<x<\infty,
}
$$

则称 $X$ 服从正态分布, 称 $X$ 为正态变量, 记作 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$. 其中参数 $-\infty<\mu<\infty, \sigma>0$. 也就是他是一条连续的曲线。

初次接触正态分布的同学会感觉有点疑惑，传统的$y=f(x)$ 都是一个变量，但是在正态分布里，有$x,\mu,\sigma$ 三个参数。事实上现实生活里，女生找对象都要求“高富帅”，这里的“高富帅”就可以看成有三个参数。在正态函数里，为了了解$f(x)$的图像特点，通常是先固定$\mu$ 然后修改$\sigma$ 看图形特点，然后固定$\sigma$再修改$\mu$再查看图像特点。

下图显示了当 $\mu,\sigma$取不同值时正态函数的图像。 
 ![图片](/uploads/2024-11/5cc957.svg){width=500px}

## 正态函数的图像特点

正态函数的图像通常被称为**钟形曲线**，具有以下特点：

![图片](/uploads/2025-12/bdbddc.jpg){width=500px}
 
 
 
 
- **对称性**：正态曲线以均值$\mu$为中心，左右完全对称。这意味着曲线在均值两侧的形状是完全相同的，数据点关于均值呈对称分布。
- **单峰性**：曲线只有一个最高点，即峰值，该峰值位于均值$\mu$处。这表明在均值附近的数据点出现的概率最大。
- **渐进性**：曲线向左右两端逐渐趋近于横轴，但永远不会与横轴相交。也就是说，随着$x$值向正负无穷大延伸，函数值$f(x)$无限趋近于$0$，但始终大于$0$。
- **均匀变动性**：正态曲线由均值所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降，曲线在$\mu\pm\sigma$处有拐点，拐点后下降速度逐渐放缓。
- **面积恒定性**：曲线与横轴间的面积总等于$1$，这相当于概率密度函数从正无穷到负无穷积分的结果为$1$，表示随机变量在整个取值范围内的概率总和为$1$。
- **参数决定性**：正态分布由均值$\mu$和标准差$\sigma$两个参数决定。均值$\mu$控制曲线的中心位置，$\mu$增大，曲线整体向右平移，$\mu$减小，曲线整体向左平移；标准差$\sigma$控制曲线的“胖瘦”，$\sigma$越大，数据越分散，曲线越扁平，$\sigma$越小，数据越集中，曲线越瘦高。

## 3 $\sigma$ 原则

若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，可以证明
落在区间 $(\mu-\sigma, \mu+\sigma)$ 内的概率约为 $68.27 \%$ ，
落在区间 $(\mu-2 \sigma, \mu+2 \sigma)$ 内的概率约为 $95.45 \%$ ，
落在区间 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 内的概率约为 $99

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