最后更新: 2025-05-18 07:48 查看: 342 次反馈同步训练

连续型(标准正态分布与3σ原则-Part2)

## 标准正态分布

称 $\mu=0, \sigma=1$ 时的正态分布 $N(0,1)$ 为**标准正态分布**.也称为**高斯分布**。

标准正态分布的**密度函数**为 $\varphi(u)$，其图像如下
$$
\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, \quad-\infty<x<\infty,
$$
 ![图片](/uploads/2025-05/141dd4.jpg){width=600px}

从标准正态分布的密度函数可以看到：
（1）因为密度函数是偶函数，所以函数图像关于$y$轴对称
（2）密度函数定义域为$(-\infty,+\infty)$ 在$-3 \sigma - 3 \sigma$之间占据了几乎所有面积，所以，$-3 \sigma - 3 \sigma$ 被称为 $3 \sigma$ 原则

### 分布函数
正态分布的分布函数 $\Phi(u)$
$$
\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}} \mathrm{~d} t, \quad-\infty<x<\infty .
$$

这个函数是积不出来的，所以只能使用积分符号写着。他的函数图像如下： 函数在 $x=u$ 时取到0.5.
 ![图片](/uploads/2025-05/cdcd15.jpg){width=300px}

由于标准正态分布的分布函数不含任何未知参数, 故其值 $\Phi(X)=P(X \leqslant x)$ 完全可以算出,

**性质1** 当 $x>0$ 时， $\Phi(x)$ 的值可以查概率函数值表得到，且$P(a<X \leq b)=\Phi(b)-\Phi(a)$

**性质2** 当 $x<0$ 时，由密度函数对称性可得 $\Phi(x)=1-\Phi(-x)$ ，特别地，有 $\Phi(0)=\frac{1}{2}$ ；

**性质3** 若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(a<X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$特别地 $P(X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) \quad P(X>a)=1-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

这些等式都不难推得.

> 这里请务必牢记，分布函数是一个累加值，例如 $\Phi(90)=80$ 表示分数$X$小于90分的有80人，$\Phi(60)=20$表示分数$X$小于60分的有20人，现在要求分数介于60~90分之间的人数，其计算方法就是$P(60 \le X \le 90)=\Phi(90)-\Phi(60)$, 这就是上面性质1的意思。

### 如何理解正态分布的密度函数
假设某校的初中生身高服从 $X \sim N\left(170,6^2\right)$（单位cm）的正态分布，这里的$\mu$ 相当于平均身高，$\sigma$相当于身高误差。这句话转换为通俗语言就是：某城市初中生平均身高在170cm，其中大部分身高分布在$164cm-176cm$。

因为正态分布是连续性分布，总概率为1，这意味问某一点身高的概率始终为零，身高从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 的总概率为1.
从数学计算可以的都如下结论
$$
\begin{aligned}
& P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=2 \Phi(1)-1=0.6826, \\
& P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)=2 \Phi(2)-1=0.9545, \\
& P(\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma)=2 \Phi(3)-1=0.9973 .
\end{aligned}
$$

第一个等式表明，身高在 $164cm-176cm$  的占比 68.26%
第二个等式表明，身高在 $158cm-182cm$  的占比 95.45%
第三个等式表明，身高在 $152cm-188cm$  的占比 99.73%

## 标准正态分布的数学期望与方差
正态分布的数学期望$E(X)=0$, 方差为$D(X)=1$

## 正态分布的 $3 \sigma$ 原则

若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则随机变量 $X$ 在 $\mu$ 的附近取值的概率较大, 在离 $\mu$ 较远处取值的概率较小.

设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则

P(\mu-k \sigma<X<\mu+k \sigma)=P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right|<k\right)=\Phi(k)-\Phi(-k)=2 \Phi(k)-1

$$
当 $k=1,2,3$ 时,有
$$
\begin{aligned}
& P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=2 \Phi(1)-1=0.6826, \\
& P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)=2 \Phi(2)-1=0.9545, \\
& P(\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma)=2 \Phi(3)-1=0.9973 .
\end{aligned}
$$

具体地, 如图所示, 随机变量 $X$ 取值
落在区间 $(\mu-\sigma, \mu+\sigma)$ 内的概率约为 $68.27 \%$ ，
落在区间 $(\mu-2 \sigma, \mu+2 \sigma)$ 内的概率约为 $95.45 \%$,
落在区间 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 内的概率约为 $99.73 \%$.

![图片](/uploads/2024-11/6f2fd1.jpg){width=380px}

这是正态分布的重要性质被称为正态分布的 $3 \sigma$ 原则.

假如某随机变量取值的概率近似满足上面的值, 则可认为这个随机变量近似服从正态分布; 假如三式中有一个偏差较大, 则可以认为这个随机变量不服从正态分布. 这就是**正态分布的 $3 \sigma$ 原则**, 这个原则在 $X$ 的观察值较多 (成百上千个) 时, 常用于判断 $X$ 的分布是否近似服从正态分布.

在生产中某产品的质量要求常规定其上、下控制限, 若上、下控制限能覆盖区间 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$, 则称该生产过程受控制, 并称其比值
$$

C_p=\frac{\text { 上控制限一下控制限 }}{6 \sigma}

$$
为过程能力指数. 当 $C_p<1$ 时, 认为生产过程不足; 当 $C_p \geqslant 1.33$ 时, 认为生产过程正常;当 $C_p$ 为其他值时, 常认为生产过程不稳定, 需要改进.

### 一般地，有下列结论:

设随机变量 $X \sim  N(0,1), c>0  $ 则
$$
\begin{aligned}
& P(|X|<c)=

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