最后更新: 2024-11-15 14:42 查看: 296 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

连续型(标准正态分布-Part2)

## 标准正态分布

称 $\mu=0, \sigma=1$ 时的正态分布 $N(0,1)$ 为**标准正态分布**.也称为**高斯分布**。
通常记标准正态变量为 $U$, 记标准正态分布的密度函数为 $\varphi(u)$, 分布函数为 $\Phi(u)$, 即

$$
\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, \quad-\infty<x<\infty,
$$

和 
$$
\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}} \mathrm{~d} t, \quad-\infty<x<\infty .
$$

由于标准正态分布的分布函数不含任何未知参数, 故其值 $\Phi(X)=P(X \leqslant x)$ 完全可以算出,

**性质1** 当 $x>0$ 时， $\Phi(x)$ 的值可以查概率函数值表得到，且

$$
P(a<X \leq b)=\Phi(b)-\Phi(a)
$$

**性质2** 当 $x<0$ 时，由密度函数对称性可得 $\Phi(x)=1-\Phi(-x)$ ，特别地，有 $\Phi(0)=\frac{1}{2}$ ；

**性质3** 若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(a<X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$特别地 $P(X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) \quad P(X>a)=1-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

这些等式都不难推得.

> 这里请务必牢记，分布函数是一个累加值，例如 $\Phi(90)=80$ 表示分数$X$小于90分的有80人，$\Phi(60)=20$表示分数$X$小于60分的有20人，现在要求分数介于60~90分之间的人数，其计算方法就是$P(60 \le X \le 90)=\Phi(90)-\Phi(60)$, 这就是上面性质1的意思。

## 标准正态分布的数学期望与方差
正态分布的数学期望$E(X)=0$, 方差为$D(X)=1$

## 正态变量的标准化

正态分布有一个家族

$$
\varphi_0(x)=\left\{N\left(\mu, \sigma^2\right):-\infty<\mu<\infty, \sigma>0\right\},
$$

标准正态分布 $N(0,1)$ 是其一个中心成员. 以下定理说明:一般正态变量都可以通过一个线性变换 (标准化) 化成标准正态变量. 因此与正态变量有关的一切事件的概率都可通过查标准正态分布函数表获得. 可见标准正态分布 $N(0,1)$ 对一般正态分布 $N(\mu$, $\left.\sigma^2\right)$ 的计算起着关键的作用.

`例`若随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则 $U=(X-\mu) / \sigma \sim N(0,1)$.

`例`设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(108,3^2\right)$, 试求:
(1) $P(102<X<117)$;
(2) 常数 $a$, 使得 $P(X<a)=0.95$.

解 利用上面公式及查附表 得
(1)

$$
\begin{aligned}
P(102<X<117) & =\Phi\left(\frac{117-108}{3}\right)-\Phi\left(\frac{102-108}{3}\right) \\
& =\Phi(3)-\Phi(-2)=\Phi(3)+\Phi(2)-1 \\
& =0.9987+0.9772-1=0.975 .
\end{aligned}
$$

(2) 由

$$
P(X<a)=\Phi\left(\frac{a-108}{3}\right)=0.95 \text {, 或 } \Phi^{-1}(0.95)=\frac{a-108}{3},
$$

其中 $\Phi^{-1}$ 为 $\Phi$ 的反函数. 从附表由里向外反查得

$$
\Phi(1.64)=0.9495, \quad \Phi(1.65)=0.9505,
$$

再用线性内插法可得 $\Phi(1.645)=0.95$, 即 $\Phi^{-1}(0.95)=1.645$, 故

$$
\frac{a-108}{3}=1.645 \text {, }
$$

从中解得 $a=112.935$.

从上例我们可以看出, 有些场合下给定 $\Phi(x)$ 的值 $p$, 可以从附表 2 中由里向外反查表来得到 $x_p$, 使 $\Phi\left(x_p\right)=p$ 或 $\Phi^{-1}(p)=x_p$, 这时 $x_p$ 称为标准正态分布的 $p$ 分位数. 在上例中 1.645 就是标准正态分布的 0.95 分位数, 分位数在统计中大量使用。

## 正态分布的 $3 \sigma$ 原则

若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则随机变量 $X$ 在 $\mu$ 的附近取值的概率较大, 在离 $\mu$ 较远处取值的概率较小.

设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则

P(\mu-k \sigma<X<\mu+k \sigma)=P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right|<k\right)=\Phi(k)-\Phi(-k)=2 \Phi(k)-1

$$
当 $k=1,2,3$ 时,有
$$
\begin{aligned}
& P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=2 \Phi(1)-1=0.6826, \\
& P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)=2 \Phi(2)-1=0.9545, \\
& P(\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma)=2 \Phi(3)-1=0.9973 .
\end{aligned}
$$

具体地, 如图所示, 随机变量 $X$ 取值
落在区间 $(\mu-\sigma, \mu+\sigma)$ 内的概率约为 $68.27 \%$ ，
落在区间 $(\mu-2 \sigma, \mu+2 \sigma)$ 内的概率约为 $95.45 \%$,
落在区间 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 内的概率约为 $99.73 \%$.

![图片](/uploads/2024-11/6f2fd1.jpg){width=380px}

这是正态分布的重要性质被称为正态分布的 $3 \sigma$ 原则.

假如某随机变量取值的概率近似满足上面的值, 则可认为这个随机变量近似服从正态分布; 假如三式中有一个偏差较大, 则可以认为这个随机变量不服从正态分布. 这就是**正态分布的 $3 \sigma$ 原则**, 这个原则在 $X$ 的观察值较多 (成百上千个) 时, 常用于判断 $X$ 的分布是否近似服从正态分布.

在生产中某产品的质量要求常规定其上、下控制限, 若上、下控制限能覆盖区间 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$, 则称该生产过程受控制, 并称其比值
$$

C_p=\frac{\text { 上控制限一下控制限 }}{6 \sigma}

$$
为过程能力指数. 当 $C_p<1$ 时, 认为生产过程不足; 当 $C_p \geqslant 1.33$ 时, 认为生产过程正常;当 $C_p$ 为其他值时, 常认为生产过程不稳定, 需要改进.

`例` 设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，查表求下列概率值:
(1) $P(-1<X \leq 1.22)$;
(2) $P(|X| \leq 1.22)$
解 (1) 查表并计算可得

$$
\begin{aligned}
P(-1<X \leq 1.22) & =\Phi(1.22)-\Phi(-1)=\Phi(1.22)-(1-\Phi(1)) \\
& =0.8888-1+0.8413=0.7301
\end{aligned}
$$

(2) 同样地

$$
\begin{aligned}
P(|X| \leq 1.22) & =P(-1.22 \leq X \leq 1.22)=\Phi(1.22)+\Phi(-1.22) \\
& =2 \Phi(1.22)-1=0.7776
\end{aligned}
$$

### 一般地，有下列结论:

设随机变量 $X \sim  N(0,1), c>0  $ 则
$$
\begin{aligned}
& P(|X|<c)=\Phi(c)-\Phi(-c)=2 \Phi(c)-1 \\
& P(|X|>c)=1-P(|X| \leq c)=2-2 \Phi(c)
\end{aligned}
$$

若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则

$$
P(a<X \leq c)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)
$$

特别地 $\quad P(X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) ; P(X>a)=1-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

`例`设 $X \sim N(0,4)$ ，试求概率 $P(X \leq 3), P(X \leq-3)$
解 查表并计算可得

$$
P(X \leq 3)=\Phi\left(\frac{3-1}{2}\right)=\Phi(1)=0.8413
$$

$$
P(X \leq-3)=\Phi\left(\frac{-3-1}{2}\right)=1-\Phi(2)=0.0228
$$

`例`设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， c$ 为何值时才能满足

$$
P(X \leq c)=0.95
$$

解 由 $P(X \leq c)=\Phi(c)=0.95$ ，查附录 知

$$
\Phi(1.645)=0.95 \Rightarrow c=1.645
$$

## 标准正态分布的分位数概念:
设 $X \sim  N(0,1)$, 对给定的 $\alpha$, 若 数 $u_\alpha$ 满足

$$
\Phi\left(u_\alpha\right)=\int_{-\infty}^{u_\alpha} \varphi(x) \mathrm{d} x=P\left(X \leq u_\alpha\right)=\alpha
$$

称 $u_\alpha$ 为随机变量X的 $\alpha-$ 分位数

分位数的几何意义

![图片](/uploads/2023-01/image_202301033fc0995.png)

`例`某学校规定划分考生成绩的等级方法如下：考试成绩的实际考分在前10\%的为 $A$ 等，考分在前 $10 \%$ 以后但在前 $50 \%$ 的为 $B$ 等，考分在前 $50 \%$ 以后但在前 $85 \%$ 的为 C等，考分在后 $10 \%$ 的为D等.某次期末考试中，设考生的成绩X服从正态分 布 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，经计算可知 $\mu=73 ， \sigma^2=144$ ，求这次期末考试等级划 分的具体分数线。
解 由题意可知 $X \sim N(73,144)$ ，则

$$
\begin{aligned}
& P(X \geq a)=1-\Phi\left(\frac{a-73}{12}\right)=0.1 \\
& \Rightarrow\left(\frac{a-73}{12}\right)=u_{0.9}=1.282 \Rightarrow a=88.384 \approx 88
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 又 } P(X \geq b)=1-\Phi\left(\frac{a-73}{12}\right)=0.5 \\
& \Rightarrow\left(\frac{b-73}{12}\right)=u_{0.5}=0 \Rightarrow b=73 \\
& \text { 又 } P(X \leq c)=\Phi\left(\frac{a-73}{12}\right)=0.5 \\
& \Rightarrow\left(\frac{c-73}{12}\right)=u_{0.1}=-u_{0.9}=-1.282 \Rightarrow c \approx 58 \\
&
\end{aligned}
$$

综述所求，可知，在此次考试中，分数在88.384以上的，为等级A，分数在73至88.384之间的，为等级B，分数在57.616至73之间的，为等级C，分数在57.616以下的，为等级D。90)

### 正态分布表的使用方法
正态分布表如下图，为了让列表不太长，我们把 "0.1" 的值垂直排列，然后把每个 0.1 后面的 "0.01" 值水平排列。形成一个方表，也就是
第一列:$0, 0.1, 0.2, 3.0 $ 精确到小数点的第一位
第一行:$0, 0.01, 0.02, 0.03 ...0.09$ 精确到小数点的第二位

因此要查一个数，比如 $\Phi_0(1.96)$ 需要把$1.96$分解为$1.9$加上$0.06$， 然后按行找到$1.9$，按列找到$0.06$，即可得到$0.975$

再比如
$\Phi_0(0)=0.5000$  第一行第一列
$\Phi_0(0.01)=0.5040$ 第一行第二列
$\Phi_0(0.10)=0.5398$ 第二行第一列
$\Phi_0(0.11)=0.5438$ 第二行第一列

![图片](/uploads/2024-11/2dfcb8.jpg)

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