最后更新: 2025-02-23 16:21 查看: 99 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

正态分布的3σ原则

## 正态分布的 $3 \sigma$ 原则
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则

$$
P(\mu-k \sigma<X<\mu+k \sigma)=P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right|<k\right)=\Phi(k)-\Phi(-k)=2 \Phi(k)-1
$$

当 $k=1,2,3$ 时, 有

$$
\begin{aligned}
& P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=2 \Phi(1)-1=0.6826, \\
& P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)=2 \Phi(2)-1=0.9545, \\
& P(\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma)=2 \Phi(3)-1=0.9973 .
\end{aligned}  ...(2.5.5)
$$

如果把他们的图像画出来，如下图：
 ![图片](/uploads/2025-02/6eb1f4.svg)
 
 > $3 \sigma$ 原则犹如经济学中的二八定律，二八定律的核心思想是：在任何一组事物中，重要的部分往往只占少数，大约20%，而其余80%尽管占据多数，却相对次要。这一原则提供了一种理解事物本质、优化资源配置和提高效率的重要视角。 二八定律最初由意大利经济学家巴莱多（或称为帕累托）在19世纪末20世纪初提出，用于解释财富分配的不均衡现象。后来，人们发现这一原则在多个领域都具有普适性。比如对于财务，20%的人占据全社会80%的财务，对于Word软件的使用，80%的人用Word 20%的功能，等等

正态分布的 $3 \sigma$ 原则与此类型，假设一个产品包装负责正态分为，一袋化肥标准重量是100kg，但是允许5%的误差，这样97.5kg ~ 102.5kg 我们认为都是合格的，那么，如果现在有100袋化肥，我们进行称量，发现有96袋的重量在97.5kg ~ 102.5kg之间，我们就认为这批化肥是合格的。
 
$3 \sigma$ 原则 是正态分布的重要性质. 假如某随机变量取值的概率近似满足 (2.5.5), 则可认为这个随机变量近似服从正态分布; 假如 (2.5.5) 三式中有一个偏差较大, 则可以认为这个随机变量不服从正态分布. 这就是正态分布的 $3 \sigma$ 原则, 这个原则在 $X$ 的观察值较多 (成百上千个) 时, 常用于判断 $X$ 的分布是否近似服从正态分布.

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