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连续型(伽马分布)

> 为什么要引入伽玛分布?因为后面会介绍正态分布属于伽玛分布的特例。怎么比喻呢？比如我们介绍月亮，就离不开地球，因为月亮属于地球的卫星，介绍地球又离不开太阳，因为地球属于太阳行星，介绍太阳离不开银河系，因为太阳属于银河系范畴。从概念上理解，正态分布是卡方分布的儿子，卡方分布是伽玛分布的儿子。

## 伽马函数 
称函数
$$
\boxed{
\Gamma(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x
}
$$

为伽马函数, 其中参数 $s>0$. 伽马函数具有如下性质:

1. $\Gamma(1)=1, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$.
2. $\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)$ (可用分部积分法证得). 当 $\alpha$ 为自然数 $n$ 时,有 $\Gamma(n+1)=n \Gamma(n)=n !$.
关于伽玛函数的积分计算，可以点击[此处](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1456)参加高等数学里的证明：

### 伽玛函数的理解
 看着 $\Gamma(s)$ 的定义，我们自然会问：为什么要对 $s$ 进行限制？每当看到一个被积函数时，你必须要确保它具有良好的性质，然后才能得出积分存在的结论．本节的目的是强调一些研究积分的有用技巧．通常，我们需要验证二个很容易出问题的点，即 $x=0$ 和 $x= \pm \infty$（好吧，是三个）．

例如，考虑定义在区间 $[0, \infty)$ 上的函数 $f(x)=x^{-1 / 2}$ ．该函数在原点处的值趋近于无穷大，但增加速度并不快．对它求积分会得到 $2 x^{1 / 2}$ ，而且它在原点附近是可积的．这就意味着

$$
\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \int_\epsilon^1 x^{-1 / 2} d x
$$

存在且有限．遗憾的是，虽然这个函数趋近于 0 ，但当 $x$ 较大时，它趋近于 0 的速度太慢，从而导致在区间 $[0, \infty)$ 上不可积。问题在于，像

$$
\lim _{B \rightarrow \infty} \int_1^B x^{-1 / 2} d x
$$

这样的积分是无穷大的．反向问题是否会发生？也就是说，对于较大的 $x$ ，函数衰减的速度足够快，但对于较小的 $x$ ，函数增到无穷大的速度会相当迅速．答案是肯定的——考虑 $g(x)=1 / x^2$ ．注意，$g$ 有一个很好的积分：

$$
G(x)=\int g(x) d x=\int \frac{d x}{x^2}=-\frac{1}{x}
$$

当 $x$ 的值较大时，积分是有限的，即

$$
\lim _{B \rightarrow \infty} \int_1^B g(x) d x=\lim _{B \rightarrow \infty}-\left.\frac{1}{x}\right|_1 ^B=\lim _{B \rightarrow \infty}\left[1-\frac{1}{B}\right]<\infty
$$

但是，当 $x$ 较小时，积分值就变成了无穷大：

$$
\lim _{\epsilon \rightarrow \infty} \int_\epsilon^1 g(x) d x=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}-\left.\frac{1}{x}\right|_\epsilon ^1=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\epsilon}-1\right]=\infty
$$

因此，正函数有可能是不可积的．原因在于，当 $x$ 较大时它衰减得太慢了，或者当 $x$ 较小时它趋近于无穷大的速度太快。一般情况下，当 $x \rightarrow \infty$ 时，对于任意给定的 $\epsilon$ ，如果一个函数的衰减速度大于 $1 / x^{1+\epsilon}$ ，那么该函数在无穷远处的积分值是有限的．对于较小的 $x$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，如果一个函数趋近于无穷大的速度小于 $x^{-1+\epsilon}$ ，那么该函数在 0 处的积分值接近于 0 ．你应该经常做这样的验证，并对事物何时存在以及是否有明确的定义有一定的了解．
现在回到伽马函数，我们要确保对于任意的 $s>0$ ，它都具有良好的定义．被积函数是 $e ^{-x} x^{s-1}$ ．当 $x \rightarrow \infty$ 时，因子 $x^{s-1}$ 呈现多项式增长，但 $e ^{-x}$ 会按照指数递减，因此它们的乘积会迅速衰减．如果想更仔细，更严谨，可以这样论证：存在某个整数 $M>s+1701$（这里给出一个很大的数是为了提醒你，实际的数并不重要）．我们显然有 $e ^x>x^M / M!$ ，这正是 $e ^x$ 的泰勒级数展开式中的一项（由于 $x>0$ ，因此所有项都是正的）．于是， $e ^{-x}<M!/ x^M$ ．对于较大的 $x$ ，积分有限且具有良好的性质，因为它有上界

$$
\begin{aligned}
\int_1^B e^{-x} x^{s-1} d x & \leqslant \int_1^B M!x^{-M} x^{s-1} d x \\
& =\int M!\int_1^B x^{s-M-1} \\
& =\left.M!\frac{x^{s-M}}{s-M}\right|_1 ^B \\
& =\frac{M!}{s-M}\left[\frac{1}{B^{M-s}}-1\right] .
\end{aligned}
$$

记住，我们的目标不仅仅是理解伽马函数，而且要理解一般函数．因此，了解什么样的技巧才是有用的以及什么时候使用这种技巧非常重要．上述方法就是个很好的选择．由于 $e ^x$ 会迅速增加，所以 $e ^{-x}$ 会快速衰减．我们利用 $e ^{-x}$ 的衰减来处理 $x^{s-1}$ ．利用衰减来约束积分是种很棒的技巧．
那么在 $x=0$ 附近呢？在 $x=0$ 附近，函数 $e ^{-x}$ 是有界的．当 $x=0$ 时， $e ^{-x}$ 取到了最大值，所以它最多取到1．于是

$$
\int_0^1 e^{-x} x^{s-1} d x \leqslant \int_0^1 1 \cdot x^{s-1} d x=\left.\frac{x^s}{s}\right|_0 ^1=\frac{1}{s}
$$

当 $s>0$ 时，我们证明了一切都是合理的，那么当 $s \leqslant 0$ 时呢？这些值仍然有效吗？按照之前的论述，可以证明当 $x$ 较大时，一切都没问题。不幸的是，当 $x$ 较小时，情况就不同了。如果 $x \leqslant 1$ ，那么显然有 $e ^{-x} \geqslant 1 / e$ 。在寻找可以证明积分存在性的上界之前，我们先来找一找它的下界，并由此说明这个积分会趋近于无穷大。这里的被积函数至少与 $x^{s-1} / e$ 一样大．如果 $s \leqslant 0$ ，那么这个函数在 $[0,1]$ 上就不再可积了．为了更加具体地说明，不妨设 $s=-2$ ．于是有

$$
\int_0^{\infty} e^{-x} x^{-3} d x \geqslant \int_0^{\infty} \frac{1}{e} x^{-3} d x=-\left.\frac{1}{e} x^{-2}\right|_0 ^1=\infty
$$

现在积分值趋近于无穷大．
每当你遇到积分时，上面的论述都可以（且应该！）拿来使用．虽然上述分析并没有解释为什么每个人都要关注伽马函数，但我们至少明白了当 $s>0$ 时，伽马函数是有定义且存在的．在下一节中，我们将说明该如何理解伽马函数对于 $s$ 所有可能的取值均有意义．这让人有些担忧：我们刚刚用了一节的内容来讨论要小心地确保只使用定义明确的积分，而现在就要讨论输入 $s=1 / 2$ 这样的值？显然，无论我们做什么，都不会像直接把 $s=1 / 2$ 代入公式那么简单．

有兴趣的话，可以看一下 $\Gamma(1 / 2)=\sqrt{\pi}$ ，我们很快会给出该式的证明！如果你正在寻找有趣的积分，那就探究一下 $\int_0^{\infty} f(x) d x$ 是否存在，其中

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{(x+1) \log ^2(x+1)} & \text { 若 } x>0 \\ 0 & \text { 其他. }\end{cases}
$$

无穷远处的积分值是多少？ 0 处的呢？

### 伽玛函数的由来
当您第一次看到伽玛函数时，你有没有想过为什么要创造这样一个看起来很复杂又无规律的积分函数？其实伽玛函数并不是凭空产生的。
伽玛函数的理由来自函数图像的绘图。在初中我们学过“描点”绘图，比如要绘出$y=x^2$的图像，其中$x$是实数，我们很容易想到，把实数$x$用自然数$n$代替，然后取$n=-2,-1,0,1,2$ 可以得到5个点，把这5个点用曲线连接起来，这就是$y=n^2$图像 如下
 ![图片](/uploads/2024-09/5a2798.jpg){width=300px}
 然后我们就想当然的认为$y=x^2$和$y=n^2$长相类似，后者就是前者的粗略版。
 
 有了这个想法，我们现在要问一个问题：$y=x!$的图像是多少(x!表示$x$的阶乘)（点击查看[阶乘](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=200)定义 ）
 我们已经知道$5!=5*4*3*2*1,  4!=4*3*2*1,... 1!=1$ 既然已经知道$n!$得值，那么把这些点连接起来，是不是就是$y=x!$的图形呢？
 我们把问题在具体一点，那 $y=\frac{1}{2} !$ 是多少？ 如果要验证我们就要知道 $y=\frac{1}{2} !$ 得值，为此，数学家重要得到了一个伽玛函数，伽玛函数有一个递推公式（如上），现在我们已经知道 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ 而至于 $y=n !$ 的图形，也就可以画出来了。不过这已经超出了初等数学的范畴。

> 伽玛函数的推导已经在高等数学里介绍过，详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1456)
 
 
 ## $\Gamma(s)$ 的特殊值
我们知道 $\Gamma(s+1)=s$ ！，其中 $s$ 是一个非负整数．$s$ 还有其他的重要值吗？如果有，这些值是多少？换句话说，我们刚刚推广了阶乘函数．重点是什么？$s$ 取非整数值或许只能满足我们的好奇心，并不重要，重点可能在于利用微积分和分析学工具来研究 $n$ ！．然而，事实并非如此．其他一些值在概率上也非常重要．提前透露一下，我们会说这些值起着核心作用．

那么，$s$ 的重要值是多少？利用函数方程，一旦知道了 $\Gamma(1)$ 的值，我们就得到了 $s$ 取所有非负整数时的伽马函数值，这就给出了所有的阶乘．因此， 1 是 $s$ 的一个重要值．接下来该考察哪个？在整数之后，最简单的数是形如 $n / 2$ 的半整数，其中 $n$ 是整数．最简单的非整数是 $1 / 2$ ．现在，我们将会看到 $s=1 / 2$ 也十分重要．

正态分布即使不是最重要的分布，也是最重要的分布之一 ．如
果随机变量 $X$ 的概率密度函数是

$$
f_{\mu, \sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-(x-\mu)^2 / 2 \sigma^2}
$$

那么说 $X$ 服从均值为 $\mu$ 且方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，并记作 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 。看一下这个概率密度函数，它分为两部分，即指数部分与常数因子 $1 / \sqrt{2 \pi \sigma^2}$ 。因为指数函数衰减得非常快，所以积分是有限的。因此，如果进行适当的标准化，我们就会得到一个概率密度函数。难点在于确定这个积分是什么。设 $g(x)= e ^{-(x-\mu)^2 / 2 \sigma^2}$ 。因为 $g$ 的衰减速度非常快，并且是非负的，所以可以将其重新调整为积分值为 1 ，这样就得到了一个概率密度函数。这里的调整因子是 $1 / c$ ，其中

$$
c=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-\mu)^2 / 2 \sigma^2}
$$

在第 14 章中，我们看到了正态分布的大量应用与用法。证明这个分布的重要性并不难，所以我们想知道这个积分值是多少。也就是说，这个积分为什么会出现在关于伽马函数的这一章里？

原因是只要做一些代数运算和变量替换，我们就能看到这个积分就是 $\sqrt{2} \Gamma(1 / 2)$ $\sigma^2$ ．不妨设 $\mu=0$ 且 $\sigma=1$（如果不这样做，那么第一步就是变量替换，令 $t=\frac{x-\mu}{\sigma}$ ）．所以，我们来考察

$$
I:=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 / 2} d x=2 \int_0^{\infty} e^{-x^2 / 2} d x
$$

利用对称性，积分区间可以被简化成从 0 到 $\infty$（参见 A． 4 节）．这个式子与伽马函数的关联看起来还很模糊。伽马函数是 $e ^{-x}$ 乘以 $x$ 的多项式的积分，但这里是 $-x^2 / 2$的指数函数．看到这里，我们想到一个自然的变量替换，它可以让我们的积分看起来像伽马函数在某个特定点的值．试着令 $u=x^2 / 2$ ，这是可以得到负变量指数的唯一方法．我们想通过变量替换把 $d x$ 写成关于 $u$ 和 $d u$ 的表达式，于是现在把 $u=x^2$改写成 $x=(2 u)^{1 / 2}$ ，进而有 $d x=(2 u)^{-1 / 2} d u$ 。把这些代入上述积分，则有

$$
I=2 \int_0^{\infty} e^{-u}(2 u)^{-1 / 2} d u=\sqrt{2} \int_0^{\infty} e^{-u} u^{-1 / 2} d u
$$

差不多完成了，这看起来确实非常接近伽马函数．现在只有两个问题：一个微不足道，另一个很容易解决．第一个问题是，我们使用了字母 $u$ 而不是 $x$ ，但这很好，因为可以用任意字母来表示变量．第二个问题是，$\Gamma(s)$ 中的因子是 $u^{s-1}$ ，但上述积分中是 $u^{-1 / 2}$ 。这很容易解决，只需要改写成

$$
u^{-\frac{1}{2}}=u^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=u^{\frac{1}{2}-1}
$$

我们刚刚添加了 0 ，这是数学中最有用的技巧之一．（学会＂不做任何事＂是需要一段时间的，也是为什么我们经常指出这一点的原因．）因此

$$
I=\sqrt{2} \int_0^{\infty} e^{-u} u^{\frac{1}{2}-1} d u=\sqrt{2} \Gamma(1 / 2)
$$

我们做到了，找到了 $s$ 的另一个很重要的值．现在只需要求出 $\Gamma(1 / 2)$ 等于多少！我们当然可以回到标准正态分布的概率密度函数并使用极坐标技巧（参见 14.1节），然而还可以使用余割等式来直接求出这个值．

余割等式：如果 $s$ 不是整数，那么

$$
\Gamma(s) \Gamma(1-s)=\pi \csc (\pi s)=\frac{\pi}{\sin (\pi s)}
$$

## 伽马分布
若随机变量 $X$ 的密度函数为

$$
p(x)= \begin{cases}\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x<0,\end{cases}
$$

则称 $X$ 服从伽马分布, 记作 $X \sim G a(\alpha, \lambda)$, 其中 $\alpha>0$ 为形状参数, $\lambda>0$ 为尺度参数.

### 伽马分布的密度函数图像

![图片](/uploads/2024-11/22fdfa.svg){width=400px}

### 伽玛分布的分布函数图像

![图片](/uploads/2024-11/542c42.svg){width=400px}

图2.5.6 给出若干条 $\lambda$ 固定、 $\alpha$ 不同的伽马分布密度函数曲线, 从图中可以看出：
![图片](/uploads/2023-12/image_202312275a3f944.png)

- 当 $0<\alpha<1$ 时, $p(x)$ 是严格下降函数, 且在 $x=0$ 处有奇异点.
- 当 $\alpha=1$ 时, $p(x)$ 是严格下降函数,且在 $x=0$ 处 $p(0)=\lambda$.
- 当 $1<\alpha \leqslant 2$ 时, $p(x)$ 是单峰函数, 先上凸、后下凸.
- 当 $2<\alpha$ 时, $p(x)$ 是单峰函数, 先下凸、中间上凸、后下凸. 且 $\alpha$ 越大, $p(x)$ 越近似于正态密度函数, 但伽马分布总是偏态分布, $\alpha$ 越小其偏斜程度越严重.

## 伽玛分布的应用
假设 $x_1, x_2, \ldots x_n$ 为连续发生事件的等候时间，且这 $n$ 次等候时间为独立的，那么这 $n$次等候时间之和 $Y\left(Y=X_1+X_2+\ldots+X_n\right)$ 服从伽玛分布，即 $Y \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, \beta)$ ，亦可记作 $Y \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, \lambda)$ ，其中 $\alpha=n$ ，而 $\beta$ 与 $\lambda$ 互为倒数关系， $\lambda$ 表单位时间内事件的发生率。

指数分布为 $\alpha=1$ 的伽玛分布。

伽玛分布的重要性在于它定义了一族分布，而某些分布族是它的特例，但伽玛分布本身在等待时间和可靠性问题方面也有重要的应用.指数分布描述了某个泊松事件发生的等待时间(或泊松事件的时间间隔)，而给定数目泊松事件发生的等待时间(或空间)可由伽玛分布描述这个给定的泊松事件数即为伽玛密度函数中的参数a，因此很容易看出，a=1时即为指数分布，伽玛密度函数可以类似上面指数密度的方法得到，细节留给大家证明.下面是伽玛分布在等待时间上应用的一些例子.

`例`假设某电话总机收到的电话数服从泊松过程，其中每分钟平均有5个.求第个电话后不到一分钟就有第二个电话的概率是多少?

解 泊松过程中两个泊松事件发生的时间间隔服从伽玛分布 $\beta=0.2, \alpha=2 . X$ 记为第一个电话与第二个电话的间隔时间, 则所求的概率为:

$$
P(X \leqslant 1)=\int_0^1 \frac{1}{\beta^2} x e^{-x / \beta} d x=25 \int_0^1 x e^{-5 x} d x=1-e^{-5}(1+5)=0.96 .
$$ 
虽然伽玛分布的起源是用来处理 $\alpha$ 个泊松事件发生的等待时间问题，但是在很多情况下，即使不存在一个清晰的泊松结构, 伽玛分布仍可以很好地处理. 例如工程和生物医学中的生存时间问题.

`例`生物医学试验中经常对老鼠做试验, 剂量反映调查用于确定毒物剂量对老鼠寿命的影响. 所研究的有毒物质为排人空气中的喷气燃料. 该试验确定在一定剂量的有毒物质下，老鼠的生存时间（按周计）具有伽玛分布 $\alpha=5, \beta=10$ 。则老鼠的寿命不超过 60 周的概率是多少?

解 令随机变量 $X$ 表示生存时间, 则所求概率为:

$$
P(X \leqslant 60)=\frac{1}{\beta^5} \int_0^{60} \frac{x^{\sigma-1} e^{-x / \beta}}{\Gamma(5)} d x .
$$

上述积分的求解可通过利用不完全伽玛函数, 该函数可以得到伽玛分布的累积分布. 不完全伽玛函数为：

$$
F(x ; \alpha)=\int_0^x \frac{y^{\alpha-1} e^{-y}}{\Gamma(\alpha)} d y .
$$

若令 $y=x / \beta$, 所以 $x=\beta y$, 于是有

$$
P(X \leqslant 60)=\int_0^6 \frac{y^4 e^{-y}}{\Gamma(5)} d y,
$$

在附表 A. 24 的不完全伽玛函数表中，上式可以记作 $F(6 ; 5)$. 这样可以快速计算伽玛分布的概率. 因此老鼠寿命不超过 60 天的概率为：

$$
P(X \leqslant 60)=F(6 ; 5)=0.715
$$

`例` 由以前的数据知, 在某几个月内顾客对某产品的投诉服从参数 $\alpha=2, \beta=4$ 的伽玛分布，于是进行了产品质量控制的改进. 实行改进后， 20 个月后出现第一起投诉. 则该质量控制是否有效？

解 令 $X$ 为第一起投诉的等待时间，改进前它是服从伽玛分布， $\alpha=2 ， \beta=4$ 。则我们关心的问题是在 $\alpha$ 和 $\beta$ 保持不变时， $X \geqslant 20$ 的概率？即改进前条件下投诉的等待时间达到 20 个月是否合理？因此我们需要解决上例

$$
P(X \geqslant 20)=1-\frac{1}{\beta^\alpha} \int_0^{20} \frac{x^{\alpha-1} e^{-x / \beta}}{\Gamma(\alpha)} d x .
$$

再令 $y=x / \beta$, 我们有

$$
P(X \geqslant 20)=1-\int_0^5 \frac{y e^{-y}}{\Gamma(2)} d y=1-F(5 ; 2)=1-0.96=0.04,
$$

查表 得 $F(5 ; 2)=0.96$.
因此, 我们得到, 投诉等待时间达 20 个月的观测事实与参数 $\alpha=2, \beta=4$ 情况下的伽玛分布不相符. 因此, 认为质量控制有效是合理的.

## 伽马分布 $G a(\alpha, \lambda)$ 的数学期望和方差
利用伽马函数的性质, 不难算得伽马分布 $G a(\alpha, \lambda)$ 的数学期望为

$$
E(X)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} x^\alpha \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\lambda}=\frac{\alpha}{\lambda},
$$

又因为

$$
E\left(X^2\right)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} x^{\alpha+1} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\lambda^2 \Gamma(\alpha)}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2},
$$

由此得 $X$ 的方差为

$$
\operatorname{Var}(X)=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2}-\left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)^2=\frac{\alpha}{\lambda^2} .
$$

## 伽马分布的两个特列

(1) $\alpha=1$ 时的伽马分布就是指数分布, 即

$$
G a(1, \lambda)=\operatorname{Exp}(\lambda) .
$$

(2) 称 $\alpha=n / 2, \lambda=1 / 2$ 时的伽马分布是自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ (卡方) 分布, 记为 $\chi^2(n)$, 即

$$
G a\left(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}\right)=\chi^2(n),
$$

其密度函数为

$$
p(x)= \begin{cases}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2} x^{\frac{n}{2}-1}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x<0 .\end{cases}
$$

这里 $n$ 是 $\chi^2$ 分布的唯一参数, 称为自由度, 它可以是正实数, 但更多的是取正整数, $\chi^2$分布是统计应用中的一个重要分布.

因为 $\chi^2$ 分布是特殊的伽马分布, 故由伽马分布的期望和方差, 很容易得到 $\chi^2$ 分布的期望和方差为

$$
E(X)=n, \quad \operatorname{Var}(X)=2 n .

`例`电子产品的失效常常是由于外界的"冲击引起". 若在 $(0, t)$ 内发生冲击的次数 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布，试证第 $n$ 次冲击来到的时间 $S_n$ 服从伽马分布 $G a(n, \lambda)$ 。

证明 因为事件"第 $n$ 次冲击来到的时间 $S_n$ 小于等于 $t$ " 等价于事件 " $(0, t)$ 内发生冲击的次数 $N(t)$ 大于等于 $n$ ", 即

$$
\left\{S_n \leqslant t\right\}=\{N(t) \geqslant n\} .
$$

于是, $S_n$ 的分布函数为

$$
F(t)=P\left(S_n \leqslant t\right)=P(N(t) \geqslant n)=\sum_{k=n}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda t}
$$

用分部积分法可以验证下列等式

$$
\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda t}=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} \int_t^{\infty} x^{n-1} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x
$$

所以
$$
\begin{aligned}
&F(t)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} \int_0^t x^{n-1} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x\\
&\text { 这就表明 } S_n \sim G a(n, \lambda) \text {. 证毕。 }
\end{aligned}
$$
 
 
 
 ## 伽马分布 $G a(\alpha, \lambda)$ 的数学期望和方差
利用伽马函数的性质，不难算得伽马分布 $G a(\alpha, \lambda)$ 的数学期望为

$$
E(X)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} x^\alpha e^{-\lambda x} d x=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\lambda}=\frac{\alpha}{\lambda},
$$

又因为

$$
E\left(X^2\right)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} x^{\alpha+1} e^{-\lambda x} d x=\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\lambda^2 \Gamma(\alpha)}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2},
$$

由此得 $X$ 的方差为

$$
D(X)=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2}-\left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)^2=\frac{\alpha}{\lambda^2} .
$$

关于更多概率分布表见[附录1：常见概率分布表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1490)

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