最后更新: 2025-05-18 08:41 查看: 1130 次反馈同步训练

正态分布表的使用与上a分位数-Part4

## 正态分布表的使用

在介绍标准正态分布 $x \sim N(0,1)$时提到，标准正态分布**密度函数图像** 如下
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标准正态分布的**密度函数图像**的意义
 ![图片](/uploads/2024-11/3d5c4f.jpg){width=550px}
 
 从上面两个图里可以知道正态分布有如下性质:

**性质1**. 概率密度函数图像是关于 $x=0$ 对称的，根据函数的奇偶性，所以 $\varphi_0(-x)=\varphi_0(x)$;

**性质2** 概率密度函数图像在 $x=0$ 处达到极大（参考密度函数图像，很容易理解）；

**性质3** 分布函数有性质 $\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)$，且$\Phi_0(u)=0.5$

> 请务必牢记分布函数的定义，分布函数$F(X)=P(X \leqslant x)$他是一个累加值。比如考试分$F(90)=P(X<90)=80$ 表示分数小于90分的人数为80人，$F(60)=P(X<60)=20$ 表示分数小于60分的人数为20人， 现在要求分数在$60-90$之间的人数，显然就是$F(90)-F(60)=80-20=60$人，分布函数求导就是密度函数，密度函数积分就是分布函数。而积分的本质就是求面积，所以密度函数曲线围成的整个面积就是所有的概率为1.通常认为分布函数的作用用来计算密度函数，单纯看分布函数图像其实看不出多少有价值的东西。数学上的表达就是密度函数在区间$（a， b）$上的积分。所以，概率的大小就是“概率密度函数曲线下的面积”的大小，这个不太起眼的概念实际上就决定了你日后是否能理解假设检验中所谓的“拒绝域”。

性质3可以通过正态密度函数的积分进行计算，但是我们准备从密度函数的图像上来解释一下$\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)$的意义。
根据分布函数的定义，他表示的是概率的累加值，而所有概率的可能性为100%,所以分布函数的整体值就是1。也就是说，密度函数曲线下所围成的总面积为1.

`例`求$\Phi_0(-2)$
解：
**STEP1** 要求$\Phi_0(-2)$，根据分布函数的定义即是求$\Phi_0(-2)=P(X \le -2)$ ，也就是求红色区域的面积。

![图片](/uploads/2024-11/5ae1e8.jpg){width=400px}

**STEP2** 很遗憾，从正态表里，查不到$\Phi_0(-2)$，但是根据对称性可以查到 $\Phi_0(2)$ ，而$\Phi_0(2)=P(X \le 2)$ 表示的下图绿色图形的面积。

![图片](/uploads/2024-11/b71212.jpg){width=400px}

**STEP3** 我们用总面积减去上面大的绿色曲面面积，就可以得到下图小的绿色曲面面积。

![图片](/uploads/2024-11/1156db.jpg){width=400px}

**STEP4** 根据对称性，上图红色曲面面积就等于小的绿色曲面面积。

**STEP5** 因此，查表知 $\Phi_0(2)=0.9772$，所以 $\Phi_0(-2)=1-0.9772=0.0228$

`例`求$\Phi_0(1.65)$
解：题目已经是标准正态分布，直接差表 $\Phi_0(1.65)=0.9505$

`例` 求标准正态分布，$P\{|X| \le 2\}$ 的值。
解：$P\{|X| \le 2\}= P \{-2 \le X \le 2 \}$
在例1里，已经算出其值，所以
$=\Phi_0(2)-\Phi_0(-2)=0.972-0.0228=0.9492$

下面我们再来分析一下例3的题目：
$P\{|X| \le 2\}=\Phi_0(2)-\Phi_0(-2)$ 
在例1里，已经知道$\Phi_0(2)$ 表示的是大的绿色曲面面积
$\Phi_0(-2)$ 表示的是左下角小的红色的曲面面积，因此这个结果是如下曲面面积

![图片](/uploads/2024-11/9419ad.jpg){width=400px}

`例` 有一批袋装大米，质量误差服从$X \sim N(50,1)$的正态分布，求质量范围在$49~51$之间的概率。
解：这是一个一般正态分布，因$X \sim N(50,1)$，所以$\mu=50,\sigma=1$

要求质量在$49-51$之间，就是求 $P\{ 49  \le X \le 51\}=\Phi(51)-\Phi_0(49)$
利用上节介绍的一般正态分布化为标准正态分布公式：
$$
\Phi(x)= \Phi_0(x) \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)
$$ 
，做一个线性变换的

$\Phi(51)-\Phi(49)$=$\Phi_0(1)-\Phi_0(-1)= 2 \Phi_0(1)-1$

## 标准正态分布的分位数概念
设 $X \sim  N(0,1)$, 对给定的 $\alpha$, 若 数 $u_\alpha$ 满足

$$
\Phi\left(u_\alpha\right)=\int_{-\infty}^{u_\alpha} \varphi(x) \mathrm{d} x=P\left(X \leq u_\alpha\right)=\alpha
$$

称 $u_\alpha$ 为随机变量$X$的 $\alpha-$ 分位数

分位数的几何意义

![图片](/uploads/2023-01/image_202301033fc0995.png){width=500px}

### 上 $\alpha$ 分位数 与下 $\alpha$ 分位数
**上 $\alpha$ 分位数** 表明 $P=\left(X \geqslant Z_{-} a\right)=a$, 在标准正态分布的概率分布图中, 临界值右侧曲线下的面积大小为 $a$ （下图左图）。

其定义为：随机变量 $Z$ 的上 $\alpha$ 分位点 $z_\alpha$ 满足：$P\left\{Z>z_\alpha\right\}=\alpha, ~ 0<\alpha<1$ ．
即 $\int_{z_\alpha}^{+\infty} f(z) d z=\alpha$ 或者 $\int_{-\infty}^{z_\alpha} f(z) d z=1-\alpha$ ，其中 $f(z)$ 是 $Z$ 的概率分布函数。

右侧尾部的阴影部分面积为α，这个区域在右（单）侧检验时也叫拒绝域或否定域。α也称（差异）显著性水平，置信水平则等于接受域的面积1−α 。

主要用处是参数估计和假设检验，上α 分位点通常作为右单侧检验或者双侧尾部检验的参考值，与假设命题、置信水平或显著性水平配合使用。

**下$a$ 分位数**, 则是 $P=\left(X \leqslant Z_{-} a\right)=a$, 临界值左侧曲线下的面积大小为 $a$ 。（下图右图）。

其定义为：随机变量 $Z$ 的下 $\alpha$ 分位点 $z_{1-\alpha}$ 满足：$P\left\{Z<z_{1-\alpha}\right\}=\alpha, ~ 0<\alpha<1$ ．即 $\int_{-\infty}^{z_{1-\alpha}} f(z) d z=\alpha$ 或者 $\int_{z_{1-\alpha}}^{+\infty} f(z) d z=1-\alpha$ ，其中 $f(z)$ 是 $Z$ 的概率分布函数。

注意：记号 $z_{1-\alpha}$ 的定义来自 $\int_{z .}^{+\infty} f(z) d z=\cdot$ ，表示该点右侧累积概率为 $1-\alpha$ ，满足下 $\alpha$ 分位点的定义。

另一种记法

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