最后更新: 2025-05-18 07:54 查看: 466 次反馈同步训练

连续性(一般正态分布化为标准正态分布-Part3）

## 为什么要把一般正态分布化为标准正态分布？
因为正态分布表只提供标准正态分布的数据查询，因此需要把一般正态分布转化为标准正态分布。

## 坐标平移转换公式
在进行下面讲解前，先介绍一个预备知识：图像平移，如下图，假设有一个二次函数，他的图像如下图(红色曲线)
$y=4(x-4)^2 ...①$ 
，而我们知道②式平方口诀表
$y'=x'^2 ...②$
如何把①变换为②的模式？答案就是使用简单的**线性变换**：
如果我们把①稍微变形为
$y=[2(x-4)]^2 ...③$ 
然后令 $x'=(x-4), y'=y$ 带入③ 就可以直接得到②式
$y'=(2x')^2 $
这样就可以继续使用平方口诀表了。
注意：此时值的变换，在①原式里，原来是求当 $x=6$时，$y=16$
而在新变换③里，需要计算$x'=2(x-4)=4$的值, 此时 $y'=16$
图像平移示意图参考下图。
 ![图片](/uploads/2025-02/c8f45a.svg){width=500px}
  
 
### 一般正态分布化为标准正态分布

一般正态分布的概率密度和分布函数为：
$$
\begin{aligned}
& \varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \\
& \Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^x e^{-\dfrac{(t-\mu)^2}{2 \sigma^2}} d t .
\end{aligned} ...(1)
$$

当$\mu=0,\sigma=1$时称为标准正态分布，所以标准正态分布的的概率密度和分布函数为：

$$
\begin{aligned}
& \varphi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \\
& \Phi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}} d t, \\

\end{aligned} ...(2)
$$

现在要把(1)式化为(2)式，一般正态分布(1)的密度函数，可以写成
$$
\varphi(x)= \dfrac{1}{\sigma} \left [ \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-\dfrac{(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}{2 }}\right] ...(3)
$$
把 $\frac{x-\mu}{\sigma}$ 看成一个整体，则(3)式方括号里面就是标准正态分布，即

$$
 \varphi(x)  = \dfrac{1}{\sigma}\varphi_0 \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right) \\
 
 \varphi(x)  = \dfrac{1}{\sigma}\varphi_0 \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right) \\
 
 ...(4)
$$

在参考上面引例的说明，由此就可以得到一般正态分布化为标准化的方法

## 一般正态分布化为标准正态分布

设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，如果做可逆的变量代换 $X^{\prime}=\frac{X-\mu}{\sigma}$ ，那么

f\left(x^{\prime}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{\prime 2}}{2}}

即 $X^{\prime} \sim N(0,1)$ ，是标准正态分布。我们把上述变量替换称作正态分布的标准化，并得到一般正态分布转化为标准正态分布的转化公式，即

$$
\boxed{
\begin{aligned}
&\varphi(x)  = \dfrac{1}{\sigma}\varphi_0 \left(\frac{x-

\mu}{\sigma} \right)  \\

&\Phi(x)= \Phi_0(x) \left(\frac{x-

\mu}{\sigma} \right)

\end{aligned} ...(*)
}
$$

这样，研究任意正态分布仅需研究标准正态分布的情形即可。

> 提示：如果上面推导你实在不理解也没关心，只要记住转换公式就可以了。

## 标准化的通俗解释
把一般正态分布转化为标准正态分布，原来的曲线的形状不会变化，即不会改变图像的高矮胖瘦，只是位置发生平移，比如下图中的例子，经过标准化实际上只是均数从1010移到了0。
 ![图片](/uploads/2024-11/119a65.jpg){width=500px}

### 标准正态分

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