最后更新: 2025-02-23 16:13 查看: 352 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

连续性(一般正态分布化为标准正态分布-Part）3

### 为什么要把一般正态分布化为标准正态分布？
因为正态分布表只提供标准正态分布的数据查询，因此需要把一般正态分布转化为标准正态分布。

## 坐标平移转换公式
在进行下面讲解前，先介绍一个预备知识：图像平移，如下图，假设有一个二次函数，他的图像如下图(红色曲线)
$y=4(x-4)^2 ...①$ 
，而我们知道②式平方口诀表
$y'=x'^2 ...②$
如何把①变换为②的模式？答案就是使用简单的**线性变换**：
如果我们把①稍微变形为
$y=[2(x-4)]^2 ...③$ 
然后另 $x'=(x-4), y'=y$ 带入③ 就可以直接得到②式
$y'=(2x')^2 $

注意：此时值的变换，在①原式里，原来是求当 $x=6$时，$y=16$
而在新变换③里，需要计算$x'=2(x-4)=4$的值, 此时 $y'=16$
图像平移示意图参考下图。
 ![图片](/uploads/2025-02/c8f45a.svg){width=600px}
  
 
## 一般正态分布化为标准正态分布

一般正态分布的概率密度和分布函数为：
$$
\begin{aligned}
& \varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \\
& \Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^x e^{-\dfrac{(t-\mu)^2}{2 \sigma^2}} d t .
\end{aligned} ...(1)
$$

当$\mu=0,\sigma=1$时称为标准正态分布，所以标准正态分布的的概率密度和分布函数为：

$$
\begin{aligned}
& \varphi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \\
& \Phi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}} d t, \\

\end{aligned} ...(2)
$$

现在要把(1)式化为(2)式，一般正态分布(1)的密度函数，可以写成
$$
\varphi(x)= \dfrac{1}{\sigma} \left [ \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-\dfrac{(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}{2 }}\right] ...(3)
$$
把 $\frac{x-\mu}{\sigma}$ 看成一个整体，则(3)式方括号里面就是标准正态分布，即

$$
 \varphi(x)  = \dfrac{1}{\sigma}\varphi_0 \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right) \\
 
 \varphi(x)  = \dfrac{1}{\sigma}\varphi_0 \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right) \\
 
 ...(4)
$$

在参考上面引例的说明，由此就可以得到一般正态分布化为标准化的方法

## 一般正态分布化为标准正态分布

设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，如果做可逆的变量代换 $X^{\prime}=\frac{X-\mu}{\sigma}$ ，那么

f\left(x^{\prime}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{\prime 2}}{2}}

即 $X^{\prime} \sim N(0,1)$ ，是标准正态分布。我们把上述变量替换称作正态分布的标准化，并得到一般正态分布转化为标准正态分布的转化公式，即

$$
\boxed{
\begin{aligned}
&\varphi(x)  = \dfrac{1}{\sigma}\varphi_0 \left(\frac{x-

\mu}{\sigma} \right)  \\

&\Phi(x)= \Phi_0(x) \left(\frac{x-

\mu}{\sigma} \right)

\end{aligned} ...(*)
}
$$

这样，研究任意正态分布仅需研究标准正态分布的情形即可。

> 提示：如果上面推导你实在不理解也没关心，只要记住转换公式就可以了。

## 标准化的通俗解释
把一般正态分布转化为标准正态分布，原来的曲线的形状不会变化，即不会改变图像的高矮胖瘦，只是位置发生平移，比如下图中的例子，经过标准化实际上只是均数从1010移到了0。
 ![图片](/uploads/2024-11/119a65.jpg){width=500px}

### 标准正态分布性质

标准正态分布 $x \sim N(0,1)$ 有如下性质:
1. 概率密度函数图像是关于 $x=0$ 对称的，根据函数的奇偶性，所以 $f(-x)=f(x)$;
2. 概率密度函数图像在 $x=0$ 处达到极大（也是最大）；
3. 分布函数有性质 $F(-x)=1-F(x)$.
关于最后一点的性质，可以参考 [附录1：置信区间与上$\alpha$ 分位数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1641)

## 典型例题
`例`  设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(108,3^2\right)$, 试求:
(1) $P(102<X<117)$;
(2) 常数 $a$, 使得 $P(X<a)=0.95$.

解：由题意知$\mu=108, \sigma=3$, 利用上面公式及下面附表得
(1)

$$
\begin{aligned}
P(102<X<117) & =\Phi\left(\frac{117-108}{3}\right)-\Phi\left(\frac{102-108}{3}\right) \\
& =\Phi(3)-\Phi(-2)=\Phi(3)+\Phi(2)-1 \\
& =0.9987+0.9772-1=0.9759 .
\end{aligned}
$$
上面计算利用了 $F(-x)=1-F(x)$ 这个性质。

(2) 由

$$
P(X<a)=\Phi\left(\frac{a-108}{3}\right)=0.95 \text {, 或 } \quad \Phi^{-1}(0.95)=\frac{a-108}{3} \text {, }
$$

其中 $\Phi^{-1}$ 为 $\Phi$ 的反函数. 从附表由里向外反查得

$$
\Phi(1.64)=0.9495, \quad \Phi(1.65)=0.9505,
$$

再用线性内插法可得 $\Phi(1.645)=0.95$, 即 $\Phi^{-1}(0.95)=1.645$, 故

$$
\frac{a-108}{3}=1.645,
$$

从中解得 $a=112.935$.

> 从上例我们可以看出, 有些场合下给定 $\Phi(x)$ 的值 $p$, 可以从附表 2 中由里向外反查表来得到 $x_p$, 使 $\Phi\left(x_p\right)=p$ 或 $\Phi^{-1}(p)=x_p$, 这时 $x_p$ 称为标准正态分布的 $p$ 分位数. 在上例中就是标准正态分布的 0.95 分位数, 更一般叙述见分位数在统计中被大量使用.

`例` 在考试中, 如果考生的成绩 $X$ 近似地服从正态分布, 则通常认为这次考试（就合理地划分考生成绩的等级而言）是正常的。教师经常把分数超过 $\mu+\sigma$ 的评为 A等, 分数在 $\mu$ 到 $\mu+\sigma$ 之间的评为 B 等, 分数在 $\mu-\sigma$ 到 $\mu$ 之间的评为 C 等, 分数在 $\mu-2 \sigma$到 $\mu-\sigma$ 之间的评为 D 等, 分数在 $\mu-2 \sigma$ 以下的评为 F 等. 由此可计算得:

$$
\begin{aligned}
& P(X \geqslant \mu+\sigma)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \geqslant 1\right)=1-\Phi(1) \approx 0.1587, \\
& P(\mu \leqslant X<\mu+\sigma)=P\left(0 \leqslant \frac{X-\mu}{\sigma}<1\right)=\Phi(1)-\Phi(0) \approx 0.3413, \\
& P(\mu-\sigma \leqslant X<\mu)=P\left(-1 \leqslant \frac{X-\mu}{\sigma}<0\right)=\Phi(0)-\Phi(-1) \approx 0.3413, \\
& P(\mu-2 \sigma \leqslant X<\mu-\sigma)=P\left(-2 \leqslant \frac{X-\mu}{\sigma}<-1\right)=\Phi(-1)-\Phi(-2) \approx 0.1359, \\
& P(X<\mu-2 \sigma)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<-2\right)=\Phi(-2) \approx 0.0228 .
\end{aligned}
$$

这说明：用这种方法划分成绩的等级，获得 A 等的约占 $16 \%, B$ 等的约占 $34 \%, C$ 等的约占 $34 \%, D$ 等的约占 $14 \%, F$ 等的约占 $2 \%$.
 
 
 ## 正态分布的数学期望与方差
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$
他的数学期望是$\mu$, 方差为 $\sigma^2$

## 正态分布的 $3 \sigma$ 原则
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则

$$
P(\mu-k \sigma<X<\mu+k \sigma)=P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right|<k\right)=\Phi(k)-\Phi(-k)=2 \Phi(k)-1
$$

当 $k=1,2,3$ 时, 有

$$
\begin{aligned}
& P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=2 \Phi(1)-1=0.6826, \\
& P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)=2 \Phi(2)-1=0.9545, \\
& P(\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma)=2 \Phi(3)-1=0.9973 .
\end{aligned}  ...(2.5.5)
$$

![图片](/uploads/2025-02/6eb1f4.svg)
这是正态分布的重要性质. 假如某随机变量取值的概率近似满足 (2.5.5), 则可认为这个随机变量近似服从正态分布; 假如 (2.5.5) 三式中有一个偏差较大, 则可以认为这个随机变量不服从正态分布. 这就是正态分布的 $3 \sigma$ 原则, 这个原则在 $X$ 的观察值较多 (成百上千个) 时, 常用于判断 $X$ 的分布是否近似服从正态分布.

### 正态分布表的使用方法
正态分布表如下图，为了让列表不太长，我们把 "0.1" 的值垂直排列，然后把每个 0.1 后面的 "0.01" 值水平排列。形成一个方表，也就是
第一列:$0, 0.1, 0.2, 3.0 $ 精确到小数点的第一位
第一行:$0, 0.01, 0.02, 0.03 ...0.09$ 精确到小数点的第二位

因此要查一个数，比如 $\Phi_0(1.96)$ 需要把$1.96$分解为$1.9$加上$0.06$， 然后按行找到$1.9$，按列找到$0.06$，即可得到$0.975$

再比如
$\Phi_0(0)=0.5000$  第一行第一列
$\Phi_0(0.01)=0.5040$ 第一行第二列
$\Phi_0(0.10)=0.5398$ 第二行第一列
$\Phi_0(0.11)=0.5438$ 第二行第一列

![图片](/uploads/2024-11/2dfcb8.jpg)

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