最后更新: 2025-02-25 09:17 查看: 284 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

连续型(贝塔分布)

## 贝塔函数
称以下函数

$$
\boxed{
\mathrm{B}(a, b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1} \mathrm{~d} x
}
$$

为贝塔函数, 其中参数 $a>0, b>0$.

注意贝塔函数与伽马函数的相似之处，两者都涉及将积分变量自乘到参数减 1 次幂．事实证明，这并不是巧合或想象，而是这两个函数之间的确有密切的关联．

贝塔函数的基本关系式：当 $a, b>0$ 时，我们有

$$
B(a, b):=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} d t=\frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
$$

做一点代数运算，可以重新排列上面的式子，从而得到

$$
\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} d t=1
$$
这意味着我们发现了一个新的概念

## 贝塔分布

贝塔分布：设 $a, b>0$ ．如果随机变量 $X$ 服从参数为 $a$ 和 $b$ 的贝塔分布，那么它的概率密度函数就是

$$
\boxed{
f_{a, b}= \begin{cases}\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} t^{a-1}(1-t)^{b-1} d t & \text { 若 } 0 \leqslant t \leqslant 1 \\ 0 & \text { 其他. }\end{cases}
}
$$

我们记作 $X \sim B(a, b)$ ．
 现在只简单地说它是一族重要的概率密度函数．我们的输入通常会介于 0 和 1 之间，而 $a$ 和 $b$ 这两个参数在创建 ＂单峰＂分布（即概率密度先上升然后下降）时给了我们很大的自由．下图展示了其中几个概率密度函数．
 
  ![图片](/uploads/2025-02/d18440.jpg)
 
贝塔函数具有如下性质:
(1) $\mathrm{B}(a, b)=\mathrm{B}(b, a)$.

证明 在定义中的积分中令 $y=1-x$, 即得

$$
\mathrm{B}(a, b)=\int_1^0(1-y)^{a-1} y^{b-1}(-\mathrm{d} y)=\int_0^1(1-y)^{a-1} y^{b-1} \mathrm{~d} y=\mathrm{B}(b, a) .
$$

（2）贝塔函数与伽马函数间有关系

$$
\mathrm{B}(a, b)=\frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} .
$$

###  基本关系式的证明
我们来证明贝塔函数的基本关系式．虽然这个结果很重要，但要记住我们这样做的目的是帮助你了解如何解决这类问题。两端同时乘以 $\Gamma(a+b)$ ，看到要证明的是

$$
\Gamma(a) \Gamma(b)=\Gamma(a+b) \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} d t
$$

有两种方法可以做到：既可以考察伽马函数的乘积，也可以展开 $\Gamma(a+b)$ 项并将其与另一个积分相结合。

我们试着处理伽马函数的乘积．注意，因为假设了 $a, b>0$ ，所以可以自由地使用积分表达式． 
于是有

$$
\begin{aligned}
\Gamma(a) \Gamma(b) & =\int_0^{\infty} e^{-x} x^{a-1} d x \int_0^{\infty} e^{-y} y^{b-1} d y \\
& =\int_{y=0}^{\infty} \int_{x=0}^{\infty} e^{-(x+y)} x^{a-1} y^{b-1} d x d y
\end{aligned}
$$

记住，不能改变积分次序。因为这两个变量是彼此独立的，所以交换次序后仍得不到任何东西。现在唯一的选择是变量替换。我们把 $y$ 固定，并对 $x$ 求积分．令 $x=y u$ ，那么 $d x=y d u$ ．这至少把变量融合在了一起，对很多问题来说其实是个不错的选择。我们有

$$
\begin{aligned}
\Gamma(a) \Gamma(b) & =\int_{y=0}^{\infty}\left[\int_{u=0}^{\infty} e^{-(1+y) u}(y u)^{a-1} y^{b-1} y d u\right] d y \\
& =\int_{y=0}^{\infty} \int_{u=0}^{\infty} y^{a+b-1} u^{a-1} e^{-(1+u) y} d u d y \\
& =\int_{u=0}^{\infty} \int_{y=0}^{\infty} y^{a+b-1} u^{a-1} e^{-(1+u) y} d y d u
\end{aligned}
$$

进行了变量替换并交换了积分次序．现在把 $u$ 固定，并对 $y$ 求积分．对于固定的 $u$ ，考虑变量替换 $t=(1+u) y$ 。这是个不错且比较合理的选择。我们想要得到 $\Gamma(a+b)$ ，因此希望出现一个变量的负指数．现在有 $e ^{-(1+u) y}$ ，但它并不是我们想要的形式。但是，如果令 $t=(1+u) y$ ，上式就变成了 $e ^{-t}$ 。同样，进行这个变量替换的原因是，我们想要得到类似于 $\Gamma(a+b)$ 的东西．注意，对答案有一定的了解是多么有用！
不管怎样，如果 $t=(1+u) y$ ，那么 $d y= d t /(1+u)$ ，而积分就变成了

$$
\begin{aligned}
\Gamma(a) \Gamma(b) & =\int_{u=0}^{\infty} \int_{t=0}^{\infty}\left(\frac{t}{1+u}\right)^{a+b-1} u^{a-1} e^{-t} \frac{1}{1+u} d t d u \\
& =\int_{u=0}^{\infty}\left(\frac{u}{1+u}\right)^{a-1}\left(\frac{1}{1+u}\right)^{b+1}\left[\int_{t=0}^{\infty} e^{-t} t^{a+b-1} d t\right] d u \\
& =\Gamma(a+b) \int_{u=0}^{\infty}\left(\frac{u}{1+u}\right)^{a-1}\left(\frac{1}{1+u}\right)^{b+1} d u,
\end{aligned}
$$

这里使用了伽马函数的定义，把 $t$ 积分替换成了 $\Gamma(a+b)$ ．我们取得了很大的进展，现在已经有了因子 $\Gamma(a+b)$ 。

另外，还应该说明一下上面的代数运算是如何展开的．把所有方幂为 $a-1$ 的项结合在一起，这样就只剩下了方幂为 $b+1$ 的项．这也是种很好的迹象．我们试图证明，这个结果就等于 $\Gamma(a+b)$ 乘以一个包含 $x^{a-1}$ 和 $(1-x)^{b-1}$ 的积分．虽然这并不是精确的结果，但已经非常接近了．（你可能会担心目前得到的是 $b+1$ 而不是
$b-1$ ，不过再进行一次变量替换之后，这个问题就会得到解决．）看看现在有什么，再将其与我们想要的结果进行比较，下一个变量替换是什么？不妨设 $\tau=\frac{u}{1+u}$ ，那么 $1-\tau=\frac{1}{1+u}$ 且 $d \tau=\frac{ d u}{(1+u)^2}$（利用商的求导法则），或者 $d u=(1+u)^2 d \tau=\frac{ d \tau}{(1-\tau)^2}$ ．因为 $u: 0 \rightarrow \infty$ ，所以 $\tau: 0 \rightarrow 1$ ，

$$
\begin{aligned}
\Gamma(a) \Gamma(b) & =\Gamma(a+b) \int_0^1 \tau^{a-1}(1-\tau)^{b+1} \frac{d \tau}{(1-\tau)^2} \\
& =\Gamma(a+b) \int_0^1 \tau^{a-1}(1-\tau)^{b-1} d \tau
\end{aligned}
$$

这正是我们想要证明的结果！为什么令 $\tau=\frac{u}{1+u}$ ？记住，我们想得到贝塔积分，它的被积函数是 $\tau(\tau$ 小于 1$)$ 的方幂与 $1-\tau$ 的方幂的乘积．因为 $u$ 的取值范围是从 0 到 $\infty$ ，所以 $\frac{u}{1+u}$ 的取值范围是从 0 到 1 ．这表明 $\tau=\frac{u}{1+u}$ 会是一个有用的变量替换。

注 像往常一样，经过漫长的证明之后，应该停下来想一想我们都做了什么，以及为什么要这样做。我们进行了几次变量替换并交换了一次积分次序。因为已经讨论过这些变量替换为什么是合理的，所以不再重复。然而，我们将重申了解答案是多么有用。如果能在一定程度上猜出答案，就能准确地洞察到该做什么．在这个问题中，知道目标是找到因子 $\Gamma(a+b)$ 可以帮助我们选择合适的变量替换来修正指数．在了解到想要的因子是某个变量的 $a-1$ 次方后，我们就会想到做变量替换 $\tau=\frac{u}{1+u}$.

### Beta分布的密度函数图像

![图片](/uploads/2024-11/b832bc.svg){width=400px}

## 贝塔分布
若随机变量 $X$ 的密度函数为

$$
p(x)= \begin{cases}\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$

则称 $X$ 服从贝塔分布, 记作 $X \sim B e(a, b)$, 其中 $a>0, b>0$ 都是形状参数.

### beta分布的分布函数图像
 ![图片](/uploads/2024-11/c46f95.svg){width=400px}

图2.5.7 给出几种典型的贝塔分布密度函数曲线.
![图片](/uploads/2023-12/image_20231227a2aa051.png)

从上图可以看出:

- 当 $a<1, b<1$ 时, $p(x)$ 是下凸的 $\mathrm{U}$ 形函数.
- 当 $a>1, b>1$ 时, $p(x)$ 是上凸的单峰函数.
- 当 $a<1, b \geqslant 1$ 时, $p(x)$ 是下凸的单调减函数.
- 当 $a \geqslant 1, b<1$ 时, $p(x)$ 是下凸的单调增函数.

- 当 $a=1, b=1$ 时, $\operatorname{Be}(1,1)=U(0,1)$.

因为服从贝塔分布 $B e(a, b)$ 的随机变量是仅在区间 $(0,1)$ 取值的, 所以不合格品率、机器的维修率、市场的占有率、射击的命中率等各种比率选用贝塔分布作为它们的概率分布是恰当的, 只要选择合适的参数 $a$ 与 $b$ 即可.

## 贝塔分布 $B e(a, b)$ 的数学期望和方差
利用贝塔函数的性质, 不难算得贝塔分布 $B e(a, b)$ 的数学期望为

$$
E(X)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \int_0^1 x^a(1-x)^{b-1} \mathrm{~d} x=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \cdot \frac{\Gamma(a+1) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b+1)}=\frac{a}{a+b} .
$$

方差为$$D(X)=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}-\left(\frac{a}{a+b}\right)^2=\frac{a b}{(a+b)^2(a+b+1)} .$$
关于更多概率分布表见[附录1：常见概率分布表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1490)

上一篇：连续型(伽马分布)

下一篇：正态分布与伽玛函数

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)