最后更新: 2025-05-21 11:55 查看: 334 次反馈同步训练

连续型(贝塔Beta分布)

> 贝塔分布是统计人员常用的一种数据建模方式，和其它建模不同，他是对**概率**进行建模。比如盒子里有8个白球2个黑球，前面讨论都是对取得**白球数量**进行建模，而贝塔分布是对取得**白球的概率**进行建模

## 贝塔分布

设 $a, b>0$ ．如果随机变量 $X$ 服从下列的密度函数，则我们称呼随机变量服从参数为 $a$ 和 $b$ 的贝塔分布。

贝塔Beta分布的密度函数如下，我们记作 $X \sim B(a, b)$ ．

$$
\boxed{
f_{t,a, b}= \begin{cases}\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} t^{a-1}(1-t)^{b-1}   & \text { 若 } 0 \leqslant t \leqslant 1 \\ 0 & \text { 其他. }\end{cases}
}
$$

Beta分布的密度函数图像如下

![图片](/uploads/2024-11/b832bc.svg){width=400px}
 
 
 
### Beta 应用分布
Beta分布是一个概率的概率分布。它是一种通用的概率分布，可用于对不同场景中的概率进行建模：
- 广告的点击率的分布；
- 网站上购买的客户的转化率；
- 读者为您的博客点赞的可能性；
- 特朗普赢得一次竞选的可能性；
- 乳腺癌女性的 5 年生存机会；

由于 Beta 分布对概率进行建模，因此定义域的边界介于 $0$ 和 $1$ 之间。
 
 
 ## 解析贝塔分布
 为了掌握 Beta 分布的底层逻辑，我们首先检查一下它的概率密度函数（PDF）：

$$
f(x ; \alpha, \beta)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}
$$

其中：

$$
B(\alpha, \beta)=\frac{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}
$$

$\Gamma$ 是 gamma函数

**有什么直觉？** 让我们先暂时忽略系数 $ \frac{1}{B(\alpha, \beta)}$ ，只看分子 $x^{\alpha-1} *(1-x)^{\beta-1}$ ，因为  $ \frac{1}{B(\alpha, \beta)}$  只是使该函数积分为 1 的规格化常数。

> 上面这句话是什么意思呢？因为密度函数的积分是分布函数，其值必须为1，为了最终积分结果为1，我们会人为增加一些“系数”平衡方程，比如正态分布里含有分母 $\sqrt{2 \pi}$  ，因此不要被Beta分布的复杂公式吓到。

仔细看Beta分母的分子项：$x$ 的幂乘以 $1-x$ 的幂看起来很熟悉。
我们以前看过，似曾相识的感觉，是！二项式分布
$$
P_{(y=k)}=\binom{m}{k} p^k *(1-p)^{m-k}
$$

我们从二项式分布的视角来看贝塔时，就容易理解了。

![图片](/uploads/2025-05/e37f9d.jpg)
 
 二项式分布和 beta 分布之间的区别在于，前者对成功次数 $x$ 进行建模，而后者对成功概率$p$进行建模。换句话说，概率是二项式的一个参数；在Beta中，概率是一个随机变量。

> **理解上面这句话后，再看Beta分布的参数$t$，其中要求 $0 \leqslant t \leqslant 1$ ，这是因为密度的取值范围就是0到1.**
 
 
 ## 理解贝塔分布里的 $\alpha, \beta$

从二项式分布联想到，你能想到 $\alpha-1$ 作为成功的次数和 $\beta-1$ 作为失败的次数，就像二项式分布中的 $n$ 和 $n-x$ 。

$$
\begin{gathered}
x^{\alpha-1} *(1-x)^{\beta-1} \\
P_{(y=x)}=\binom{n}{x} p^x *(1-p)^{n-x}
\end{gathered}
$$

> $\alpha$－代表成功的次数，类似于二项分布中的 $n$ 项。 $\beta$－代表失败的次数，类似于二项分布中的 $n-x$ 项。

您可以按照自己的想法选择 $\alpha$ 和 $\beta$ 参数。例如，如果您认为成功的概率非常高（如 $90 \%$ ），则可以将 $\alpha$ 设为 90 ，将 $\beta$ 设为 10 。反之，如果您认为失败的概率较高，则应将 $\beta$ 设为 $90, \alpha$ 设为 10 。

![图片](/uploads/2025-05/37287a.jpg)
 
 随着 $\alpha$ 的增加（成功事件增多），概率分布的大部分将向右移动。另一方面，$\beta$ 的增加会使分布向左移动（更多失败事件）。

同样，如果我们同时确定 $\alpha$ 和 $\beta$ 都增加，则分布将变窄。

## 例子：概率的概率

假设某人同意与你约会的可能性服从 Beta 分布，$\alpha=2, \beta=8$ 。
使用 Beta 分布，您的成功率大于 $50 \%$ 的概率是多少？用数学术语来说，我们想找到 $P(X>0.5)$ 。

$$
P(X>0.5)=1-C D F(0.5)=0.01953
$$

计算 $P(X>0.5)=1-C D F(0.5)$ ，我们得到的概率是 0.01953 。不幸的是，这意味着成功率大于 $50 \%$ 的可能性很低。
 ![图片](/uploads/2025-05/1ade3d.jpg)
 
  
## 我们为什么使用Beta分布？

说到概率分布建模，有很多选项可供选择。你可能会问，为什么我们要使用 Beta 分布，而不是其他任意的概率分布呢？

如果我们只想创建一个概率分布来模拟概率，我们可以使用区间 $(0,1)$ 上的任意分布。创建一个分布应该很容易。只需使用任何在 0 到 1 之间不会无穷大且保持正值的函数，在这个区间（ 0到 1）上进行积分，然后简单地用积分的结果除以该函数。这样就得到了一个概率分布，可以用来建立概率模型。这很有道理，听起来也很简单，但为什么我们坚持使用贝塔分布而不是任意概率分布呢？

Beta分布有何特别之处？

Beta分布是贝叶斯推断中伯努利，二项式，负二项式和几何分布（似乎是涉及成功与失败的分布）的共轭先验，在计算能力不足的情况下，共轭函数对于贝叶斯派来说简直就是救命稻草，而且如此的简单和优雅，像是被上帝亲过一样。

在贝叶斯推理中使用共轭先验（如贝塔分布）具有很

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