最后更新: 2025-02-25 09:19 查看: 33 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

正态分布与伽玛函数

## 正态分布与伽玛函数
如果不提及与正态分布的其他关联，对伽马函数的阐述就是不完整的．与标准正态分布相关的三最重要的积分是

$$
\begin{aligned}
& 1=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x \\
& 0=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x \\
& 1=\int_{-\infty}^{\infty}(x-0)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x
\end{aligned}
$$

第四有用的积分是 $2 m$ 阶矩，即

$$
\mu_{2 m}=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2 m} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x=(2 m-1)!!
$$

其中，双阶乘的意思是取遍相差一的项直至取到 2 或 1 为止（所以 $5!!=5 \cdot 3 \cdot 1$ ，而 $6!!=6 \cdot 4 \cdot 2)$ ．我们不考察奇数阶矩，因为它们都等于 0 。

这很容易理解，我们求的是奇函数在对称区域上的积分。因为被积函数衰减速度非常快，所以积分会收敛于 0 。其他积分则比较麻烦，因为我们不得不做很多工作来证明，对高斯分布而言，其概率密度函数的积分值为 1 且方差也为 1 。

如果我们非常了解伽马函数，就可以马上得到任意偶数阶矩。现在要做的就是进行简单的变量替换。于是

$$
\mu_{2 m}=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2 m} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x=2 \int_0^{\infty} x^{2 m} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x
$$

该如何做变量替换呢？看一下伽马函数的定义，我们发现它有一项是 $e ^{-u}$ ，而这里的指数项是 $e ^{-x^2 / 2}$ 。这意味着令 $u=x^2 / 2$ ，进而有 $x=(2 u)^{1 / 2}$ ，所以

$$
x^{2 m}=2^m u^m, \quad d x=\frac{d u}{\sqrt{2 u}}
$$

这样就得到了

$$
\mu_{2 m}=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^{\infty} 2^m u^m e^{-u} \frac{d u}{\sqrt{2 u}}=\frac{2^m}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\infty} u^{m-\frac{1}{2}} e^{-u} d u
$$

我们使用一种很棒的技巧：添加 0 。记住，添加 0 是最强大的工具之一。现在几乎得到了伽马函数的定义，但是还需要 $u^{s-1}$ ，而目前已经得到的是 $u^{m-\frac{1}{2}}$ 。于是

$$
u^{m-\frac{1}{2}}=u^{m+\frac{1}{2}-1}
$$

这意味着 $s=m+\frac{1}{2}$ ．现在，上述积分就是 $\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right)$ ，最终得到了

$$
\mu_{2 m}=\frac{2^m}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right)
$$

现在，我们明白了为什么前面有个如果：虽然弄清楚了这些矩是什么，但你要对伽马函数非常了解，否则答案看起来没什么用．例如，如果让 $m=0$ ，我们就得到了曲线下方的面积．这个值应该是 1 ，而公式告诉我们答案是 $2^0 \Gamma(1 / 2) \sqrt{\pi}$ ．这两个结果都正确，因为 $\Gamma(1 / 2)=\sqrt{\pi}$ ．事实上，如果不知道 $\Gamma(1 / 2)=\sqrt{\pi}$ ，我们还可以使用极坐标计算技巧来得到这个重要事实的另一种证明！方差是多少呢？这要求 $m=1$（记住，我们考察的是 $2 m$ 阶矩）．此时，我们有 $2^1 \Gamma(3 / 2) / \sqrt{\pi}$ ，以及（你肯定已经猜到了）$\Gamma(3 / 2)=\sqrt{\pi} / 2$ ．

伽马函数满足很多漂亮的性质。在 15.2 节中，我们利用分部积分法证明了 $\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)$ 至少在 $s>0$ 时成立．我们给出了 $\Gamma(1 / 2)=\sqrt{\pi}$ 的几个证明．作为一个很好的练习，利用这两个事实去证明 $\Gamma(m+1 / 2)=\frac{(2 m-1)!!}{2^m} \Gamma(1 / 2)$ ，从而有 $\mu_{2 m}=(2 m-1)!!$ ．

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