最后更新: 2025-12-20 10:44 查看: 147 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

连续性(韦布尔分布Weibull )

##  韦布尔分布
韦布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。

他的密度函数
$$
\boxed{
f(x ; \lambda, k)= \begin{cases}\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x / \lambda)^k} & x \geq 0 \\ 0 & x<0\end{cases}
}
$$

其中，两个核心参数的含义如下：
1.  **形状参数$k$（Shape Parameter）**
    - 决定分布曲线的形状，是韦布尔分布最关键的参数。
    -$k=1$：退化为**指数分布**，对应故障率恒定的场景（如随机失效）。
    -$k<1$：故障率随时间**递减**，对应早期失效阶段（如产品磨合期）。
    -$k>1$：故障率随时间**递增**，对应耗损失效阶段（如产品老化）。
2.  **尺度参数$\lambda$（Scale Parameter）**
    - 也叫特征寿命，当$x=\lambda$ 时，累计失效概率为$1-e^{-1}\approx 63.2\%$。
    -$\lambda$ 越大，分布曲线越向右平移，代表整体寿命越长。

### 二、 累积分布函数（CDF）
累积分布函数表示随机变量$X$ 小于等于$x$ 的概率，公式为：
$$
F(x;\lambda,k) = 1 - e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}, \quad x\ge0
$$
它在可靠性分析中对应**失效概率**，而可靠度函数$R(x)=1-F(x)=e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}$ 表示产品工作到$x$ 时刻仍未失效的概率。

### 三、 期望与方差
1.  **期望（均值）**
    韦布尔分布的期望依赖于伽马函数$\Gamma(\cdot)$：
    $$
    E(X) = \lambda \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)
    $$
    当$k=1$ 时，\(\Gamma(2)=1!$，期望$E(X)=\lambda$，与指数分布的期望一致。
2.  **方差**
    $$
    Var(X)

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