最后更新: 2025-02-25 09:21 查看: 42 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

分布族(伽马分布与韦布尔分布)

##  分布族
通过介绍所有不同的重要分布，我们可以轻松地添加更多章节．即使仅限于与伽马函数有关的分布，仍然可以有更多章节。我们不去这样做，而是更详细地讨论与伽马函数有关的一个分布（即卡方分布），并在这里给出简要说明。

我们已经讨论过贝塔分布．现在给出另外两族概率密度函数（我们会简单解释这里的术语）．

**伽马分布与韦布尔分布**：如果随机变量 $X$ 的概率密度函数是

$$
f_{k, \sigma}(x)= \begin{cases}\frac{1}{\Gamma(k) \sigma^k} x^{k-1} e^{-x / \sigma} & \text { 若 } x \geqslant 0 \\ 0 & \text { 其他, }\end{cases}
$$

那么 $X$ 就服从（正）参数为 $k$ 和 $\sigma$ 的伽马分布．我们把 $k$ 称为形状参数，$\sigma$ 称为尺度参数，并记作 $X \sim \Gamma(k, \sigma)$ 或 $X \sim \operatorname{Gamma}(k, \sigma)$ 。

如果随机变量 $X$ 的概率密度函数是

$$
f_{k, \sigma}(x)= \begin{cases}(k / \sigma)(x / \sigma)^{k-1} e^{-(x / \sigma)^k} & \text { 若 } x \geqslant 0 \\ 0 & \text { 其他, }\end{cases}
$$

那么 $X$ 就服从（正）参数为 $k$ 和 $\sigma$ 的韦布尔分布．我们把 $k$ 称为形状参数，$\sigma$ 称为尺度参数，并记作 $X \sim W(k, \sigma)$ ．

注意，这两个分布具有本质上的不同，而且它们与贝塔分布也不相同．这三个分布的概率密度函数都包含一个多项式因子，但当 $k \neq 1$ 时，伽马分布与韦布尔分布还包含了一个属于 $[0,1]$ 且不为 0 的（不同的）指数因子。这些分布的特别之处在于，我们可以改变参数并得到一些不同却相关的分布。这样就引入了分布族的概念。这些分布的概率密度函数具有不同的参数值．在实践中，我们通常有理由相信一种自然现象或数学现象可以通过某种分布来模拟，但这些分布的参数值是未知的。然后，我们试图通过数学分析或统计推断来找出这些参数的值。

我最喜欢的例子之一是用韦布尔分布为一个公式提供理论依据．这个公式用来预测棒球队的胜率，而前提是只知道他们的平均得分和场均得分（参阅［Mil］）．事实证明，在适当的参数选择下，韦布尔分布在拟合得分与数据方面做得非常出色。

你知道的分布越多，就越有可能建立这样的联系．我强烈建议你读一读这篇论文，这是基本概率与数学建模（以及一些初等统计）的一个很好的应用。刚开始，我想弄清楚如果得分服从指数分布（概率密度函数与 $e ^{-x / \sigma}$ 成正比）和瑞利分布（概率密度函数与 $x e ^{-x^2 / 2 \sigma^2}$ 成正比），结果会是什么样的．我是从物理学中了解到这些分布的，并知道我能得到一个很好但并不完美的答案。接下来，灵感来袭：我注意到这两个概率密度函数的形式都是 $x^{k-1} e ^{-x^k / \lambda}$ 。它们属于同一族分布，通过选择＂恰当的＂$k$ 和 $\lambda$ ，既可以很好地拟合现实世界的数据，又能得到数学上易于处理的积分．这就是我了解韦布尔分布的过程。

韦布尔分布被用在许多涉及生存分析的问题上，贝塔分布与伽马分布也有类似的应用 。另外，关键是要时刻留意分布族。你的工具越多，你做的建模就越好．

上一篇：正态分布与伽玛函数

下一篇：离散型随机变量函数的分布

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)