最后更新: 2025-05-17 20:36 查看: 457 次反馈同步训练

连续型(均匀分布)

> 均匀分布是最简单的连续型分布，在数轴[a,b]之间随意点一个点，等待公交车时，等待的事件，都是连续型随机分布的经典例子。

## 均匀分布的密度函数和分布函数
前面曾以例子形式说明过均匀分布,这里给出一般的叙述:若随机变量 $X$ 的密度函数 为

$$
p(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a<x<b, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

则称 $X$ 服从区间 $(a, b)$ 上的均匀分布, 记作 $X \sim U(a, b)$。

均匀分布的密度函数如下图
 ![图片](/uploads/2024-11/13ed97.svg){width=400px}

### 均匀分布的分布函数
 均匀分布的分布函数为
 
 $$
 F(x)= \begin{cases}0, & x<a, \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x<b, \\ 1, & x \geqslant b .\end{cases}
 $$

如果从概率的角度理解，当$x<a$时，概率为0，当$x>b$时，概率为1.
 
  ![图片](/uploads/2024-11/50c7cb.svg){width=400px}

### 应用背景

均匀分布又被称为平顶分布, 它的背景可视作随机点 $X$ 等可能地落在区间 $(a, b)$上. 均匀分布在实际中经常使用，例如一个半径为 $r$ 的汽车轮胎, 因为轮胎圆周上的任一点接触地面的可能性是相同的, 所以轮胎圆周接触地面的位置 $X$ 服从 $(0,2 \pi r)$ 上的均匀分布, 这只要看一看报废轮胎的四周磨损程度几乎是相同的就可明白均匀分布的含义了.

## 均匀分布的数学期望与方差

设随机变量 $X \sim U(a, b)$, 则

$$
E(X)=\int_a^b \frac{x}{b-a} d x=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2},
$$

这正是区间 $(a, b)$ 的中点.
又因为

$$
E\left(X^2\right)=\int_a^b \frac{x^2}{b-a} d x=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+a b+b^2}{3},
$$

由此得 $X$ 的方差为
$$
D(X)=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=\frac{a^2+a b+b^2}{3}-\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{(b-a)^2}{12} .
$$

`例` 某公共汽车站从上午 7 时起，每 15 分钟来一班车，即 $7: 00, ~ 7: 15, ~ 7: 30, ~ 7: 45$等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站的时间 $X$ 是 7：00 到 7：30 之间的均匀随机变量，试求他候车时间少于 5 分钟的概率。

解 以 7：00 为起点 0 ，以分为单位，依题意

$$
X \sim U(0,30), \quad f(x)= \begin{cases}\frac{1}{30}, & 0<x<30 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$

为使候车时间 $X$ 少于 5 分钟，乘客必须在 7：10 到 7：15 之间，或在 7：25 到 7：30 之间到达车站，故所求概率为

$$
P(10<X<15)+P(25<X<30)=\int_{10}^{15} \frac{1}{30} d x+\int_{25}^{30} \frac{1}{30} d x=\frac{1}{3} .
$$

即乘客候车时间少于 5 分钟的概率是 $1 / 3$ ．

关于更多概率分布表见[附录1：常见概率分布表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1490)

##  阅读：服从均匀分布的随机变量之和
关于服从均匀分布的随机变量，我们还有一个问题要回答：服从均匀分布的随机变量之和会服从什么样的分布呢？为了简单起见，不妨设 $X$ 和 $Y$ 都服从 $[0,1]$ 上的均匀分布．如果我们能处理这种情况，那么就可以将其推广到一般的均匀分布上．

设 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，并且都服从 $\operatorname{U}(0,1)$ ，那么 $Z=X+Y$ 的概率密度函数就是

$$
\boxed{
f_Z(z)= \begin{cases}z & \text { 若 } 0 \leqslant z \leqslant 1 \\ 2-z & \text { 若 } 1 \leqslant z \leqslant 2 \\ 0 & \text { 其他. }\end{cases}
}
$$

利用卷积理论可以得出上述答案，即

$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(z-t) d t, \quad f(u)= \begin{cases}1 & \text { 若 } 0 \leqslant u \leqslant 1 \\ 0 & \text { 其他. }\end{cases}
$$

我们现在就来计算这个积分．不难想到，$z$ 的取值范围要分成三种情况：$z \leqslant 0$ ， $0 \leqslant z \leqslant 2$ 和 $z \geqslant 2$ 。为什么是这三个区间呢？我们的随机变量要服从 $[0,1]$ 上的均匀分布．因此，只有当 $z \in[0,2]$ 时，概率密度函数才不为 0 ，所以把计算分别放在这三个区间上考虑是很自然的。我们将证明 $z \leqslant 0$ 时的概率为 0 ，类似的方法可以证明当 $z \geqslant 2$ 时概率也为 0 。在给出这个证明后，就剩下了最难的部分，即 $0 \leqslant z \leqslant 2$时概率。

假设 $z \leqslant 0$ ．上式中的被积函数是 $f(t) f(z-t)$ ．为了保证被积函数不为 0 ，我们有 $0 \leqslant t \leqslant 1$ 和 $0 \leqslant z-t \leqslant 1$ ，而后者与 $z-1 \leqslant t \leqslant z$ 是一样的．如果 $z \leqslant 0$ ，那么第二个条件将迫使 $t \leqslant 0$ ，因此第一个条件就无法满足了．于是，当 $z \leqslant 0$ 时，被积函数始终为 0 ，所以概率也为 0 ．
现在只需要考察 $0 \leqslant z \leqslant 2$ 时的情形．与之前一样，只有当 $0 \leqslant t \leqslant 1$ 且 $z-1 \leqslant

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：连续型分布函数与密度函数

下一篇：连续型(指数分布与无记忆性)

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)