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连续型(均匀分布)

> 均匀分布是最简单的连续型分布，在数轴[a,b]之间随意点一个点，等待公交车时，等待的事件，都是连续型随机分布的经典例子。

## 均匀分布的密度函数和分布函数
前面曾以例子形式说明过均匀分布,这里给出一般的叙述:若随机变量 $X$ 的密度函数 为

$$
p(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a<x<b, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

则称 $X$ 服从区间 $(a, b)$ 上的均匀分布, 记作 $X \sim U(a, b)$。

均匀分布的密度函数如下图
 ![图片](/uploads/2024-11/13ed97.svg){width=400px}

### 均匀分布的分布函数
 均匀分布的分布函数为
 
 $$
 F(x)= \begin{cases}0, & x<a, \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x<b, \\ 1, & x \geqslant b .\end{cases}
 $$

如果从概率的角度理解，当$x<a$时，概率为0，当$x>b$时，概率为1.
 
  ![图片](/uploads/2024-11/50c7cb.svg){width=400px}

### 应用背景

均匀分布又被称为平顶分布, 它的背景可视作随机点 $X$ 等可能地落在区间 $(a, b)$上. 均匀分布在实际中经常使用，例如一个半径为 $r$ 的汽车轮胎, 因为轮胎圆周上的任一点接触地面的可能性是相同的, 所以轮胎圆周接触地面的位置 $X$ 服从 $(0,2 \pi r)$ 上的均匀分布, 这只要看一看报废轮胎的四周磨损程度几乎是相同的就可明白均匀分布的含义了.

`例` 某公共汽车站从上午 7 时起，每 15 分钟来一班车，即 $7: 00, ~ 7: 15, ~ 7: 30, ~ 7: 45$等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站的时间 $X$ 是 7：00 到 7：30 之间的均匀随机变量，试求他候车时间少于 5 分钟的概率。

解 以 7：00 为起点 0 ，以分为单位，依题意

$$
X \sim U(0,30), \quad f(x)= \begin{cases}\frac{1}{30}, & 0<x<30 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$

为使候车时间 $X$ 少于 5 分钟，乘客必须在 7：10 到 7：15 之间，或在 7：25 到 7：30 之间到达车站，故所求概率为

$$
P(10<X<15)+P(25<X<30)=\int_{10}^{15} \frac{1}{30} d x+\int_{25}^{30} \frac{1}{30} d x=\frac{1}{3} .
$$

即乘客候车时间少于 5 分钟的概率是 $1 / 3$ ．

均匀分布是概率统计中的一个重要分布，被广泛地应用于流行病学、遗传学、交通流量理论等概率模型中。

`例` 某食品厂生产一种产品，规定其质量的误差不能超过 3 g ，若随机误差 $X$ 服从 $(-3,3)$ 上的均匀分布．现任取出一件产品进行称重，求误差在 $-1 \sim 2$ 之间的概率．
（解）因为 $X \sim U(-3,3)$ ，所以其概率密度为

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{6},-3<x<3, \\
0, \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
所求概率为 $P\{-1<X \leqslant 2\}=\int_{-1}^2 \frac{1}{6} \mathrm{~d} x=\frac{2-(-1)}{6}=\frac{1}{2}$ ．

`例`设随机变量 $X$ 在 $(1,4)$ 上服从均匀分布，对 $X$ 进行 3 次独立的观察，求至少有两次观察值大于 2 的概率。

解 随机变量 $X$ 的概率密度为

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{3}, & 1<x<4, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

所以，$P\{X>2\}=\int_2^4 \frac{1}{3} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3}$ ．
设 $Y$ 表示 3 次观察中观察值大于 2 的次数，则 $Y \sim B\le

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