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概率论与数理统计
第二篇 一维随机变量及其分布
连续型分布函数与密度函数
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2024-11-15 09:46
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连续型分布函数与密度函数
## 连续型分布函数 定义：设 $X$ 为一随机变量, 则函数 $$ P(X \leqslant x)=F(x),-\infty<x<\infty $$ 称为 $X$ 的分布函数. > 此内容意见迁移到 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=523 连续型随机变量的意义已解释过. 对这种变量的概率分布，不能用像离散型变量那种方法去描述。原因在于，这种变量的取值充满一个区间，无法一一排出。若指定一个值 $a$ ，则变量 $X$ 恰好是 $a$ 一丝不差，事实上不可能。如在秤量误差的例中，如果你认定天平上的读数（刻度）是"无限精细"，则"误差正好为 $\pi-3$ "虽原则上不能排除, 但可能性也极微以至只能取为 0. 如在靶面上指定一个几何意义下的点 (即只有位置而无任何向度), 则 "射击时正好命中该点"的概率，也只能取为 0. 刻画连续型随机变量的概率分布的一个方法，是使用所定义的概率分布函数。但是，在理论和实用上更方便因而更常用的方法，是使用所谓"概率密度函数"或简称密度函数。 ### 概率密度函数 **定义** 设连续性随机变量 $X$ 有概率分布函数 $F(x)$ ，则 $F(x)$ 的导数 $f(x)=F^{\prime}(x)$ ，称为 $X$ 的**概率密度函数**。 "密度函数"这名词的来由可解释如下。取定一个点 $x$, 则按分布函数的定义，事件 $\{x<X \leqslant x+h\}$ 的概率（ $h>0$ 为常数），应为 $F(x+h)-F(x)$ 。所以, 比值 $[F(x+h)-F(x)] / h$ 可以解释为在 $x$ 点附近 $h$ 这么长的区间 $(x, x+h)$ 内, 单位长所占有的概率。令 $h \rightarrow 0$, 则这个比的极限, 即 $F^{\prime}(x)=f(x)$, 也就
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