最后更新: 2024-11-15 09:46 查看: 46 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

连续型分布函数与密度函数

## 连续型分布函数
定义：设 $X$ 为一随机变量, 则函数

$$
P(X \leqslant x)=F(x),-\infty<x<\infty
$$
称为 $X$ 的分布函数.

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连续型随机变量的意义已解释过. 对这种变量的概率分布，不能用像离散型变量那种方法去描述。原因在于，这种变量的取值充满一个区间，无法一一排出。若指定一个值 $a$ ，则变量 $X$ 恰好是 $a$ 一丝不差，事实上不可能。如在秤量误差的例中，如果你认定天平上的读数（刻度）是"无限精细"，则"误差正好为 $\pi-3$ "虽原则上不能排除, 但可能性也极微以至只能取为 0. 如在靶面上指定一个几何意义下的点 (即只有位置而无任何向度), 则 "射击时正好命中该点"的概率，也只能取为 0.

刻画连续型随机变量的概率分布的一个方法，是使用所定义的概率分布函数。但是，在理论和实用上更方便因而更常用的方法，是使用所谓"概率密度函数"或简称密度函数。

### 概率密度函数
**定义**  设连续性随机变量 $X$ 有概率分布函数 $F(x)$ ，则 $F(x)$ 的导数 $f(x)=F^{\prime}(x)$ ，称为 $X$ 的**概率密度函数**。

"密度函数"这名词的来由可解释如下。取定一个点 $x$, 则按分布函数的定义，事件 $\{x<X \leqslant x+h\}$ 的概率（ $h>0$ 为常数），应为 $F(x+h)-F(x)$ 。所以, 比值 $[F(x+h)-F(x)] / h$ 可以解释为在 $x$ 点附近 $h$ 这么长的区间 $(x, x+h)$ 内, 单位长所占有的概率。令 $h \rightarrow 0$, 则这个比的极限, 即 $F^{\prime}(x)=f(x)$, 也就是在 $x$ 点处（无穷小区段内）单位长的概率，或者说，它反映了概率在 $x$ 点处的 "密集程度"。你可以设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为 1 , 概率密度相当于杆上各点的质量密度.

连续型随机变量 $X$ 的密度函数 $f(x)$ 都具有以下三条基本性质：
$1^{\circ} \quad f(x) \geqslant 0$
$2^{\circ} \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1$
$3^{\circ}$ 对任何常数 $a<b$ 有 *

$$
P(a \leqslant X \leqslant b)=F(b)-F(a)=\int_a^b(x) d x
$$

$1^{\circ}$ 显然. $2^{\circ}$ 是说"全部概率为 1 ". $3^{\circ}$ 是微积分的基本定理（定积分与导数的关系) 的直接应用。实际上， $2^{\circ}$ 是 $3^{\circ}$ 当 $a=-\infty$ 和 $b=\infty$ 的特例。

图2.2(a), (b)分别表示某一连续型变量 $X$ 的分布函数 $F$ 和 密度函数 $f$. 从密度函数的图上可以明显看出该分布的一些特点.例如概率最大的集中区在 $\mu$ 点附近，而在这点的两边呈对称性的衰减。图中斜线标出部分的面积表示变量 $X$ 落在 $a, b$ 之间的概率. 这些特点从分布函数的图上就不那么容易看出来.
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