最后更新: 2025-05-17 16:05 查看: 497 次反馈同步训练

泊松定理(二项分布的泊松近似)

## 泊松定理
泊松分布作为二项分布的一种近似, 是其一个非常实用的特点. 泊松近似可以化简二项分布的计算。阅读本文最好数学[泊松分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=527)

**泊松定理**   设 $n p_n=\lambda(\lambda>0$ 是一常数，$n$ 是任意正整数），则对任意固定的一个非负整数 $k$ ，有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} C_n^k p_n^k\left(1-p_n\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} .
$$

证 由 $p_n=\frac{\lambda}{n}$ ，得

$$
\begin{aligned}
C_n^k p_n^k\left(1-p_n\right)^{n-k} & =\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\
& =\frac{\lambda^k}{k!}\left[1 \cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\right]\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}
\end{aligned}
$$

因为对任意固定的 $k$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时，有

$$
\left[1 \cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\right] \rightarrow 1
$$

以及

$$
\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \rightarrow e^{-\lambda},\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \rightarrow 1
$$

所以

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} C_n^k p_n^k\left(1-p_n\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
$$

注（1）在上面定理 中，因为 $\lambda=n p_n$ 是常数，所以当 $n$ 很大时，$p_n$ 必定很小．故该定理表明，当 $n$ 很大，$p$ 很小时，有以下近似公式成立：

$$
C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
$$

(2)二项分布的泊松近似,常被应用于研究稀有事件(即每次实验中事件 A 出现概率p 很小).当伯努利试验的次数n 很大时,事件A 发生的次数的分布.

由于 $n p_n=\lambda$ 是常数, 所以当 $n$ 很大时, $p_n$ 必定很小, 因此, 上述定理表明, 当 $n$ 很大、 $p$ 很小时, 有以下近似公式

$$
C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},
$$

其中, $\lambda=n p$.
从表 2.2.3 可以直观地看出上式两端的近似程度。

![图片](/uploads/2024-11/eace7b.jpg)

> 泊松定理告诉我们: **满足一定条件时，二项概率可以用泊松分布的概率值来近似**.

由表 2.2.3 可知, 两者的结果是很接近的. 在实际计算中, 当 $n \geqslant 20, p \leqslant 0.05$ 时近似效果较好, 而当 $n \geqslant 100, n p \leqslant 10$ 时效果更好。

##  为什么二项分布化为泊松分布要
其实答案很简单：因为二项分布计算量大，化为泊松分布可以简化计算量。

## 例题
`例` 已知某种疾病的发病率为 0.001 , 某单位共有 5000 人. 问该单位患有这种疾病的人数不超过 5 人的概率为多少?

解 设该单位患有这种疾病的人数为 $X$, 则有 $X \sim b(5000,0.001)$, 而我们所求的为

$$
P(X \leqslant 5)=\sum_{k=0}^5\left(\begin{array}{c}
5000 \\
k
\end{array}\right) 0.001^k 0.999^{5000-k} .
$$

这个概率的计算量很大. 由于 $n$ 很大, $p$ 很小, 且 $\lambda=n p=5$. 所以用泊松近似得

$$
P(X \leqslant 5) \approx \sum_{k=0}^5 \frac{5^k}{k !} \mathrm{e}^{-5}=0.616 .
$$

`例` 有 10000 名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险.每个投保人在每年初需交纳 200 元保费, 而在这一年中若投保人死亡, 则受益人可从保险公司获得 100000 元的赔偿费. 据生命表知这类人的年死亡率为 0.001 . 试求保险公司在这项业务上
(1) 亏本的概率;
(2) 至少获利 500000 元的概率.
解 设 $X$ 为 10000 名投

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