最后更新: 2025-12-18 09:07 查看: 703 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

离散型(泊松分布 Poisson)★★★★★

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[**两点分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[**二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526) 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是[**多项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)， 在抽查产品里(放回抽样)，我们不断的抽取直到首次抽到正品的概率这是[**几何分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=529)， 在抽查的产品里，我们抽取一个是不合格的，抽取一个是不合格的，一共抽取了$r$次，第$r+1$次才出现合格的，这种分布就是[**负二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1569)。 如果不放回抽样就是[**超几何分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=528)， 下面介绍的是泊松分布。特别的，当样本量很大时，二项分布可以用泊松近似,他常被应用于研究稀有事件。比如某种疾病的发病率为0.001，现在单位有5000人，问患这种疾病不超过5人的概率？虽然可以用二项分布计算，但是计算量很大，此时就可以使用泊松分布近似计算，详见[泊松定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1568)。

> 注：在概率论里，和连续分布相关的基本上都和“时间”相关，因为时间是连续的。泊松过程的三个重要分布在概率论和随机过程理论中经常出现，它们分别是：**[泊松分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=527)**（Poisson Distribution）：描述固定时间内发生事件的数量。**[指数分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=531)**（Exponential Distribution）：描述事件间隔时间的分布。**[伽马分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=960)**（Gamma Distribution）：描述多个事件发生时间的分布。点击他们的分布链接可以了解三者之间的区别和联系。

到目前为止，我们前面研究的离散分布都与伯努利分布有关．接下来的例子也与伯努利分布有关，但关联并不是那么密切。虽然我们可以定义服从泊松分布的随机变量，但它其实可以被定义为参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布的极限，其中 $n \rightarrow \infty$ 且 $n p \rightarrow \lambda$ ． 你可以把泊松分布看成一个全新的分布。

## 为什么要引入泊松分布？
答案就一句话：**预测未来发生的事件数！** 更准确地说， **在固定的时间间隔内，预测给定事件数量的可能性。**
日常生活中，大量事件是有固定频率(统计学中称为速率)的。
``` 
某医院平均每小时出生3个婴儿
某公司平均每10分钟接到1个电话
某超市平均每天销售4包奶粉
某网站平均每分钟有3个访客
城市每天发生1次火灾
```

> **这类事件的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的**

而泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

## 泊松分布
1837 年法国数学家（Poisson，1781—1840 年）首次提出泊松分布. 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$
\boxed{
P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}, \quad k=0,1,2, \ldots ; \quad \lambda>0
}
$$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 记为 $X \sim P(\lambda)$.
由无穷级数知识知: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=1$

泊松分布的密度函数图

![图片](/uploads/2025-05/117e8a.jpg){width=500px}

初学者看到泊松密度会感觉一脸迷茫，怎么又是$k$，又是$\lambda$，又是$e$的，且看下文慢慢介绍。这里稍微提示一下：如果你看$\lambda=10$时的图像，可以发现他和正态分布很像，这种感觉是对的，当 $\lambda$越大，泊松分布越接近正态分布。

##  泊松分布 $\lambda$ 是什么意思

在概率论与统计学中，泊松分布（Poisson Distribution）是一种描述“**稀有事件发生次数**”的离散概率分布，常用于建模单位时间、空间或区域内某事件发生的次数（如某路口每小时的车祸数、某客服中心每分钟的来电数等，癌症的发病率，图书印刷错误的个数等）。而其中的参数 λ（兰姆达，Lambda） 是泊松分布的核心参数，具有明确的统计意义。

1. $\lambda$的定义：平均发生次数

$\lambda$表示单位时间（或单位空间、单位体积等）内，该事件发生的平均次数（也称为“速率参数”或“强度参数”）。它是一个正实数（$\lambda > 0$），直接决定了泊松分布的形态。

例如：  
• 若某医院平均每天接生 5 个婴儿，则 λ = 5（单位：天/每）
• 若某网站每秒平均收到 2 次点击，则 λ = 2（单位：秒/每）
• 若某放射性物质每平方厘米每分钟平均衰变 3 次，则 λ = 3（单位：分钟⁻/每厘米⁻²）。

2.  $\lambda$ 对泊松分布的影响
$\lambda$  的大小直接影响分布的形状：  
• 当 λ 较小时（如 λ = 1）：分布向右偏斜（长尾在右侧），大部分概率集中在 k = 0, 1 附近，说明事件很少发生（参考上面密度函数图）；  
• 当 λ 增大时：分布逐渐对称并趋近于正态分布（根据中心极限定理），峰值（最可能的发生次数）接近 λ，且波动范围（方差）也随 λ 增大而扩大。

3.  $\lambda$ 的统计性质

泊松分布的两个关键数字特征（期望和方差）均与 λ 直接相关：  
• 期望（均值）：$E(X) = \lambda$（平均发生次数就是 λ）；  
• 方差：$D(X) = \lambda$（方差等于均值，这是泊松分布的重要特性）  
这意味着，$\lambda$ 不仅描述了事件的“平均水平”，还描述了事件的“波动程度”——$\lambda$ 越大，事件发生的次数越不稳定（方差大），但平均趋势更明显。

例如：若某医院平均每天接生 5 个婴儿（$\lambda=5$），则该医院下一天接生的婴儿，可能为0个，1个，2个，也可能为10个，100个甚至1000个。 但是，因为前提已经说了平均每天5个，按照常识的理解， ，超过10个的可能性不大，所有，数据范围变动较窄。
相反，若某医院平均每天接生 20 个婴儿（$\lambda=20$），则下一天超过20个的可能性是很大的，所有数据变动范围很大。 $\lambda$即指示了平均值，又$\lambda$了数据的波动范围趋势。

## 例题-感性认知泊松分布

为了方便读者对识泊松分布有感性认识，我们通过一个例题进行快速讲解释。

>**一个售后服务中心，平均每周接到客户投诉 2.5 次。求下周没有接到客户投诉的概率是？接到客户投诉是 3 次的概率。**

解：我们

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【概率论与数理统计】泊松定理(二项分布的泊松近似)【随机过程及其应用】泊松过程定义

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