最后更新: 2025-02-24 10:06 查看: 544 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

离散型(泊松分布)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[**两点分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[**二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526) 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是[**多项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)， 在抽查产品里，我们不断的抽取直到首次抽到正品的概率这是[**几何分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=529)，下面的定义将介绍负二项分布:在抽查的产品里，我们抽取一个是不合格的，抽取一个是不合格的，一共抽取了$r$次，第$r+1$次才出现合格的，这种分布就是[**负二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1569)。 如果不放回抽样就是[**超几何分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=528)， 下面介绍的是泊松分布。特别的，当样本量很大时，二项分布可以用泊松近似,他常被应用于研究稀有事件。比如某种疾病的发病率为0.001，现在单位有5000人，问患这种疾病不超过5人的概率？虽然可以用二项分布计算，但是计算量很大，此时就可以使用泊松分布近似计算，详见[泊松定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1568)。

到目前为止，我们前面研究的离散分布都与伯努利分布有关．接下来的例子也与伯努利分布有关，但关联并不是那么密切。虽然我们可以定义服从泊松分布的随机变量，但它其实可以被定义为参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布的极限，其中 $n \rightarrow \infty$ 且 $n p \rightarrow \lambda$ ． 你可以把泊松分布看成一个全新的分布。

> 泊松分布可以看成二项分布的极限分布. 这是因为二项分布计算太麻烦，使用泊松近似可以化简二项分布的计算。请记住这句话，后面会用到

## 泊松分布
1837 年法国数学家（Poisson，1781—1840 年）首次提出泊松分布. 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$
\boxed{
P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}, \quad k=0,1,2, \ldots ; \quad \lambda>0
}
$$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 记为 $X \sim P(\lambda)$.
由无穷级数知识知: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=1$

### 应用场景

泊松分布也是一种常用的离散型分布，它常常与计数过程相联系，例如
01 某一时段内某网站的点击量；
02 早高峰时间段内驶入高架道路的车辆数；
03 一本书上的印刷错误数。

## 例题

`例` 一繁忙的汽车站有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001 ，在某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过。问出事故的次数不少于 2 的概率是多少？

解 设该段时间内出事故的次数为 $X$ 。由题意，可知 $X \sim B(1000,0.0001)$ 。因为该分布中 $n$ 很大而概率 $p$ 很小，所以相应概率可通过参数 $\lambda=n p=0.1$ 的泊松分布近似计算，即

$$
\begin{aligned}
P\{X \geqslant 2\} & =1-P\{X<2\}=1-P\{X=0\}-P\{X=1\} \\
& =1-\frac{0.1^0 e^{-0.1}}{0!}-\frac{0.1 e^{-0.1}}{1!} \approx 0.0047
\end{aligned}
$$

`例` 设随机变量 $X$ 有分布律 $P(X=k)=\frac{c \times 3^k}{k !}(k=0,1,2, \cdots)$ ，求 $c$ 的值，并求解 $P(X \leq 2)$.

解 根据分布律的定义有 $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{c \times 3^k}{k !}=1 \Rightarrow c=\mathrm{e}^{-3}$.
事实上，不难看出 $x \sim P(3)$ ，所以 $c=\mathrm{e}^{-3}$ 。

$$
\begin{aligned}
P(X \leq 2) & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\
& =\frac{e^{-3} \times 3^0}{0 !}+\frac{e^{-3} \times 3^1}{1 !}+\frac{e^{-3} \times 3^2}{2 !}=\frac{17}{2} e^{-3} 。
\end{aligned}
$$

`例` 已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为 6 的泊松分布.问周初 至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存， 且本周不再进货.
解 设该款手表每周的需求量为 $X$ 则有 $X \sim P(6)$ ；设至少需要进 $n$ 块该款手 表，才能满足不脱销的概率不小于 $0.9$ ，即要满足

$$
\begin{aligned}
& P(X \leq n) \geq 0.9 \\
& P(X \leq n-1)<0.9
\end{aligned}
$$

解得 $P(X \leq 8)=0.847237, P(X \leq 9)=0.916076$
所以周初预备 9 块时，能满足 $90 \%$ 的顾客需求而不脱销。

## 泊松分布的数学期望与方差
设随机变量 $X \sim P(\lambda)$, 则

$$
E(X)=\sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda} e^\lambda=\lambda .
$$

这表明：泊松分布 $P(\lambda)$ 的数学期望就是参数 $\lambda$.
又因为

$$
\begin{aligned}
E\left(X^2\right) & =\sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}=\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k}{(k-1)!} e^{-\lambda} \\
& =\sum_{k=1}^{\infty}[(k-1)+1] \frac{\lambda^k}{(k-1)!} e^{-\lambda} \\
& =\lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \\
& =\lambda^2+\lambda
\end{aligned}
$$

由此得 $X$ 的方差为

$$
D(X)=E\left(X^2\right)-(E(X))^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda .
$$

也就是说，泊松分布 $P(\lambda)$ 中的参数 $\lambda$ 既是数学期望又是方差.

关于更多概率分布表见[附录1：常见概率分布表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1490)

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