最后更新: 2025-05-17 15:52 查看: 359 次反馈同步训练

离散型(超几何分布)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[**两点分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[**二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526) 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是[**多项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)， 在抽查产品里，我们不断的抽取直到首次抽到正品的概率这是[**几何分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=529)（放回抽样），有时，我们抽取一个是不合格的，抽取一个是不合格的，一共抽取了$r$次，第$r+1$次才出现合格的，这种分布就是[**负二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1569)。 
在上面的抽查检查里，默认都是**放回检验**，但是有时候抽查完不放回，这种**不放回检验**就是本节介绍的超几何分布。可以证明，当样品量很大时，放回和不放回区别不大，比如从1000个产品里抽取5个检验是否合格，那么每次检验把这5个放回或者不放回对整体影响不大。

## 超几何分布
回忆高中学过的概率，在介绍古典概型的例题时遇到过类似如下的问题：袋子中装有 $N$ 个球，其中 $M$ 个白球， $N - M$个黑球，从中无放回地随机取 $n$ 个球，令 $X$ 表示取出的白球个数，则

$$
\boxed{
P\{X=k\}=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}, k=0,1,2, \cdots, n
}
$$

（规定 $k > M$时 $\left.C_M^k=0\right)$ ，我们称X服从参数 $n , N , M$ 的超几何分布。

**注意**当 $N$ 和 $M$ 相比 $n$ 很大时，有放回与无放回取球没什么差别，因为每次取到白球的概率都近似为固定值 $p = M / N$ ，直观上不难看出此时 $X$ 近似服从参数为 $n , p$ 的二项分布，此结论的严格证明我们不再介绍。

`例`在一个口袋中装有 30 个球，其中有 10 个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出 5 个球。摸到至少 4 个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？

解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型。
其中 $N=30 . D=10 . n=5$ ．
$P$（一等奖）$=P(X=4)+P(X=5)$
由公式 $P(X=k)=\frac{C_D^k C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}, k =0,1,2, \ldots$ 得：

$$
\begin{aligned}
& P(X=4)=\frac{C_{10}^4 C_{20}^1}{C_{30}^5} \\
& P(X=5)=\frac{C_{10}^5 C_{20}^0}{C_{30}^5}
\end{aligned}
$$

$P($ 一等奖 $)=106 / 3393$

`例` 从 50 名学生中随机选出 5 名学生代表，求甲被选中的概率．

解：设 $X$ 表示选出的 5 名学生中含甲的人数（只能取 0或 1），则 $X$ 服从超几何分布，且 $N=50, M=1, n=5$ ．因此甲被选中的概率为

$$
P(X=1)=\frac{C_1^1 C_{99}^4}{C_{50}^5}=\frac{1}{10} .
$$

**容易发现，每个人被抽到的概率都是 $\frac{1}{10}$ ．这个结论非常直观，这里给出了严格的推导．**

## 超几何分布的数学期望和方差
若 $X \sim h(n, N, M)$, 则 $X$ 的数学期望为

$$
E(X)=\sum_{k=0}^r k \frac{\binom

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：离散型(负二项分布)

下一篇：离散型(泊松分布)

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)