最后更新: 2025-12-19 10:22 查看: 391 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

离散型(超几何分布)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[**两点分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[**二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526) 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是[**多项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)， 在抽查产品里，我们不断的抽取直到首次抽到正品的概率这是[**几何分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=529)（放回抽样），有时，我们抽取一个是不合格的，抽取一个是不合格的，一共抽取了$r$次，第$r+1$次才出现合格的，这种分布就是[**负二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1569)。 
在上面的抽查检查里，默认都是**放回检验**，但是有时候抽查完不放回，这种**不放回检验**就是本节介绍的超几何分布。可以证明，当样品量很大时，放回和不放回区别不大，比如从1000个产品里抽取5个检验是否合格，那么每次检验把这5个放回或者不放回对整体影响不大。

## 超几何分布的背景
超几何分布描述的是一种**不放回抽样**的离散概率分布。它适用于从一个有限总体中抽取样本，并且我们关心的是样本中“成功”项目的数量。

**比如**：一个袋子中有$10$个球（$N=10$），其中 $3$ 个是红球（“成功”，$K=3$），$7$ 个是白球（“失败”）。现在你从袋子里随机摸出 $4$ 个球（$n=4$），不放回。那么摸出的 $4$ 个球中恰好有 $2$ 个红球（$k=2$）的概率，他就服从超几何分布。

## 超几何分布公式

超几何分布的概率质量函数给出了在$n$次不放回抽样中恰好抽到$k$个“成功”项目的概率。

一共有$N$个产品，其中$K$个是合格的，抽取$n$次，恰好有$k$个是合格的产品，他的分布为

$$
\boxed{
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
}
$$

我们称呼$X$服从超几何分布，记作 $X \sim H(N,K,n)$

**公式解读：**
- $\binom{K}{k}$：从$K$个“成功”项目中选出$k$个的方法数。
- $\binom{N-K}{n-k}$：从$N-K$个“失败”项目中选出$n-k$个的方法数。
- $\binom{N}{n}$：从整个总体$N$个项目中选出$n$个项目的总方法数。
- 整个分式表示：**有利情况的数量 / 所有可能情况的数量**。

**使用条件：**
为了使概率有意义，参数必须满足：
- $k \leq K$ （抽到的成功数不能超过总体中的成功数）
- $n - k \leq N - K$ （抽到的失败数不能超过总体中的失败数）
- $0 \leq k \leq n$

如果$k$超出了可行范围（例如，要求抽到 5 个红球，但总共只有 3 个），则概率为 0。

`例` 一批产品共10件，其中次

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【高中数学】超几何分布

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