最后更新: 2025-12-19 09:55 查看: 256 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

离散型(负二项分布)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[**两点分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[**二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526) 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是[**多项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)， 在抽查产品里，我们不断的抽取直到首次抽到正品的概率这是[**几何分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=529)，下面的定义将介绍负二项分布:在抽查的产品里，我们抽取一个是不合格的，抽取一个是不合格的，一共抽取了$r$次，**第$r+1$次才出现合格的**，这种分布就是负二项分布。

## 负二项分布的引入
考虑生活中的两个例子。
**引例1** 投篮命中率 30%（单次成功概率 $p=0.3$），想知道 “直到第$2$次投中（$k=2$），总共投了多少次”—— 可能投2次就中2次（前 2次都中），也可能投3次（前2次中1次，第3次中），还可能投 4 次(前2次都未中，后面2次都中了)、5 次、6次 ... 这种 “求第$k$次成功时的总试验次数” 的概率分布，就是负二项分布。

**引例2** 抽奖中奖概率 $p=0.1$，求 “第3次中奖时，总共抽了多少次奖”；产品合格率 $p=0.9$，求 “第 5 次抽到合格产品时，总共检测了多少个产品”。

上面2个引例都是负二项分布的模型。

## 负二项分布的定义

负二项分布其实有2个定义

### 定义一：基于“总试验次数” (k)

这是最经典和直观的定义,也是教材默认的方式。
**定义1** 设 $X$ 表示获得第 $r$ 次成功时的**总试验次数**，则 $X$ 服从参数为 $(r,p)$ 的负二项分布，记为 $X\sim NB(r,p)$。。
   **参数**：
$r$： 成功的次数（一个正整数）。
$p$： 每次伯努利试验成功的概率（ $0 < p < 1$ ）。

**取值范围**： $k = r, r+1, r+2$, ...（因为至少需要  $r$  次试验才能获得  $r$  次成功）。

**概率质量函数 (PMF)**：
$$
\boxed{
P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k = r, r+1, r+2, ...
}
$$

**解释**：
$\binom{k-1}{r-1}$ ： 在前$k-1$次试验中，有$r-1$次成功（组合数）。因为最后一次试验必须是成功的（我们才能在第$k$次得到第$r$ 次成功），所以前$k-1$次里只需要安排$r-1$次成功。
$p^r$：$r$次成功的总概率。
$(1-p)^{k-r}$： $k-r$ 次失败的总概率。

`例`假设一个篮球运动员的罚球命中率 $p=0.7$。他连续罚球直到投进第 3 个球为止。那么他投第 5 次才投进第 3 个球的概率是多少？
 解：$r = 3, k = 5, p = 0.7$
$$
 P(X=5) = \binom{5-1}{3-1} (0.7)^3 (0.3)^{5-3} = \binom{4}{2} (0.343) (0.09) = 6 * 0.343 * 0.09 ≈ 0.185
$$

### 定义二：基于“失败次数” (y)

这个定义在**回归模型中更常见**（如负二项回归）。
**定义2** 设 $Y$ 表示获得第 $r$ 次成功时的**失败次数**，则 $Y = X - r$，此时 $Y$ 也服从负二项分布，记为 $Y\sim NB(r,p)$。
 **参数**： 同样是r 和p
*   **取值范围**： y = 0, 1, 2, ...

**概率质量函数 (PMF)**：
$$
\boxed{
P(Y = y) = \binom{y+r-1}{r-1} p^r (1-p)^{y}, \quad y = 0, 1, 2, ...
}
$$
或者等价地写作：
$$
P(Y = y) = \binom{y+r-1}{y} p^r (1-p)^{y}
$$
（因为  $\binom{y+r-1}{r-1} = \binom{y+r-1}{y}$ ）

**解释**：
*   $\binom{y+r-1}{r-1}$ ： 在总共  $y+r-1$  次“非最后一次的成功”试验中，选择$r-1$次成功的位置。另一种理解方式是“多重集系数”，表示把$r$个成功和$y$个失败排成一列，且最后一个位置固定为成功的方法数。
$p^r$ ：  $r$次成功的概率。
$(1-p)^y$ ：$y$ 次失败的概率。

**与定义一的关系**： 如果定义一的随机变量是  X （总试验

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：离散型(几何分布与无记忆)

下一篇：离散型(超几何分布)

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)