最后更新: 2025-02-24 10:05 查看: 106 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

离散型(负二项分布)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[**两点分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[**二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526) 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是[**多项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)， 在抽查产品里，我们不断的抽取直到首次抽到正品的概率这是[**几何分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=529)，下面的定义将介绍负二项分布:在抽查的产品里，我们抽取一个是不合格的，抽取一个是不合格的，一共抽取了$r$次，**第$r+1$次才出现合格的**，这种分布就是负二项分布。

> 注意：负二项分布在业界并没有统一的规定。比如有些人支持从0开始,有些人支持从1开始，有些人用p表示成功的概率, 有些人用p表示失败的概率.所以当你用不同的教材给出的公式进行比较时，仔细检查这些教材使用的标准形式

## 负二项分布
负二项分布是几何分布的一个延伸.在伯努利试验中，记每次试验中 $A$ 事件发生的概率 $P(A)=p(0<p<1)$ ，设随机变量 $X$ 表示 $A$ 事件第 $r$ 次出现时的试验次 数，则 $X$ 的取值为 $r, r+1, \cdots, r+n, \cdots$ ，相应的分布律为:

$$
P(X=k)=\left(\begin{array}{c}
k-1 \\
r-1
\end{array}\right) p^r(1-p)^{k-r}, \quad 0<p<1, \quad k=r, r+1, \cdots, r+n, \cdots
$$

根据组合数定义：

$$
\begin{aligned}
\binom{x+r-1}{x} & =\frac{(x+r-1)(x+r-2) \cdots r}{x!} \\
& =(-1)^x \frac{(-r-(x-1))(-r-(x-2)) \cdots(-r)}{x!} \\
& =(-1)^x \frac{(-r)(-r-1) \cdots(-r-(x-1))}{x!} \\
& =(-1)^x\binom{-r}{x}
\end{aligned}
$$

称随机变量 $X$ 服从参数为 $r, p$ 的负二顶分市，记为 $X \sim \mathrm{NB}(r, p)$ 。其中当 $r=1$ 时，即为几何分布.

> 负是指负二项级数，但实际上，"负" 除了告诉我们负二项分布的由来，对理解其直观意义并无帮助。

从伯努利过程的视角出发，也能自然的能理解负二项分布,实际上，负二项分布描述的是第 r 次成功前失败的次数，记为 $k$ ，那么有:

$$
\operatorname{Pr}(X=k)=\binom{k+r-1}{r-1} \cdot(1-p)^k p^r
$$

## 负二项分布的数学期望与方差

可以算得负二项分布的数学期望为 $r / p$, 方差为 $r(1-p) / p^2$. 从直观上看这是合理的, 因为首次出现 $A$ 的平均试验次数是 $1 / p$, 那么第 $r$ 个 $A$ 出现所需的平均试验次数是 $r / p$.

我们发现，在NB中，方差总是大于期望的；而当r（stopping parameter）趋于无穷大的时候，方差与期望相等。前面我们已经推导了当r趋于无穷的时候，NB就成了泊松分布。这里再次印证了这个结论。

我们不妨把 $1 / r$ 称为 dispersion parameter，它能够帮助我们检验数据的overdispersion情况(利用 Wald test检验原假设 $1 / r=0$ 是否成立)。

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