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离散型(几何分布与无记忆)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[**两点分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[**二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526) 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是[**多项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)，下面将介绍的是几何分布。抽查一个产品，它把成功的概率指定为 $p$ ，失败的概率指定为 $1-p$ ．我们现在要做的是不断重复这个试验，**直到首次成功为止**．我们用随机变量 $X$ 表示首次成功时已经完成的试验次数．我们称 $X$ 是一个服从几何分布的随机变量Geometric Distribution．

## 几何分布的应用背景
几何分布描述的是在一系列独立重复的伯努利试验中，首次成功出现时的试验次数.

想象一个简单的场景：我们不断地进行抛投篮试验（或者抽奖、检测产品等），每次试验只有两种结果：
*   **成功**：概率为 $p$ ($0 < p \leq 1$)
*   **失败**：概率为 $q = 1 - p$

我们持续进行试验，直到**第一次出现成功**为止。几何分布关心的就是：**总共需要进行多少次试验，才能看到这第一次成功？**

*   **随机变量**：设随机变量 $X$ 表示**第一次成功所需的试验次数**。
*   **取值范围**：$X$ 可以取 $1, 2, 3, ...$ （正整数）。因为至少需要一次试验才可能成功。
*   **独立性**：每次试验都是独立的，之前的结果不影响下一次的成功概率。

## 几何分布
在伯努利试验序列中, 记每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$, 如果 $X$ 为事件 $A$ 首次出现时的试验次数, 则 $X$ 的可能取值为 $1,2, \cdots$, 称 $X$ 服从**几何分布**, 记为 $X \sim Ge(p)$,其分布列为

$$
\boxed{
P(X=k)=p(1-p)^{k-1} , k=1,2, \cdots .
}
$$

几何分布因其分布律为几何级数 $\sum_{k=1}^{+\infty} p q^{k-1}$ 的一般项而得名。

### 概率质量函数解读
我们要计算 $P(X = k)$，即**第一次成功恰好发生在第 $k$ 次试验**的概率。

为了在第 $k$ 次才首次成功，意味着：
1.  前 $k-1$ 次试验**全部失败**。
2.  第 $k$ 次试验**成功**。

由于试验是独立的，我们可以将这两个事件的概率相乘：
*   前 $k-1$ 次都失败的概率：$q^{k-1} = (1-p)^{k-1}$
*   第 $k$ 次成功的概率：$p$

因此，几何分布的概率质量函数为：
$$
P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, ...
$$

**形象化理解**：
这个公式是无限等比数列的一般项。所有可能情况的概率和为：
$$
\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} (1-p)^{k-1}p = p \sum_{j=0}^{\infty} (1-p)^j = p \cdot \frac{1}{1-(1-p)} = 1
$$
这验证了它是一个有效的概率分布。

### 几何分布应用背景
实际问题中有不少随机变量服从几何分布，臂如，
- 某产品的不合格率为 0.05 , 则首次查到不合格品的检查次数 $X \sim G e(0.05)$.
- 某射手的命中率为 0.8 , 则首次击中目标的射击次数 $Y \sim G e(0.8)$.
- 掷一颗股子, 首次出现 6 点的投掷次数 $Z \sim G e(1 / 6)$.
- 同时掷两颗骰子, 首次达到两个点数之和为 8 的投掷次数

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