最后更新: 2025-02-24 10:05 查看: 392 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

离散型(几何分布与无记忆)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[**两点分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[**二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526) 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是[**多项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)，下面将介绍的是几何分布。抽查一个产品，它把成功的概率指定为 $p$ ，失败的概率指定为 $1-p$ ．我们现在要做的是不断重复这个试验，**直到首次成功为止**．我们用随机变量 $X$ 表示首次成功时已经完成的试验次数．我们称 $X$ 是一个服从几何分布的随机变量Geometric Distribution．

## 几何分布
在伯努利试验序列中, 记每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$, 如果 $X$ 为事件 $A$ 首次出现时的试验次数, 则 $X$ 的可能取值为 $1,2, \cdots$, 称 $X$ 服从几何分布, 记为 $X \sim G e(p)$,其分布列为

$$
\boxed{
P(X=k)=p(1-p)^{k-1} , k=1,2, \cdots .
}
$$

### 几何分布应用背景
实际问题中有不少随机变量服从几何分布，臂如，
- 某产品的不合格率为 0.05 , 则首次查到不合格品的检查次数 $X \sim G e(0.05)$.
- 某射手的命中率为 0.8 , 则首次击中目标的射击次数 $Y \sim G e(0.8)$.
- 掷一颗股子, 首次出现 6 点的投掷次数 $Z \sim G e(1 / 6)$.
- 同时掷两颗骰子, 首次达到两个点数之和为 8 的投掷次数 $W \sim G e(5 / 36)$.

## 几何分布的数学期望和方差
设随机变量 $X$ 服从几何分布 $G e(p)$, 令 $q=1-p$, 利用逐项微分可得 $X$ 的数学期望为

$$
\begin{aligned}
E(X) & =\sum_{k=1}^{\infty} k p q^{k-1}=p \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}=p \sum_{k=1}^{\infty} \frac{d q^k}{d q} \\
& =p \frac{d}{d q}\left(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right)=p \frac{d}{d q}\left(\frac{1}{1-q}\right)=\frac{p}{(1-q)^2}=\frac{1}{p} .
\end{aligned}
$$

又因为

$$
E\left(X^2\right)=\sum_{k=1}^{\infty} k^2 p q^{k-1}=p\left[\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) q^{k-1}+\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}\right]
$$

$$
\begin{aligned}
& =p q \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) q^{k-2}+\frac{1}{p}=p q \sum_{k=1}^{\infty} \frac{d^2}{d q^2} q^k+\frac{1}{p} \\
& =p q \frac{d^2}{d q^2}\left(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right)+\frac{1}{p}=p q \frac{d^2}{d q^2}\left(\frac{1}{1-q}\right)+\frac{1}{p} \\
& =p q \frac{2}{(1-q)^3}+\frac{1}{p}=\frac{2 q}{p^2}+\frac{1}{p}
\end{aligned}
$$

由此得 $X$ 的方差为

$$
D(X)=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=\frac{2 q}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2} .
$$

从几何分布的数学期望可以看出：掷一颗骰子，首次出现点数 6 的平均投掷次数为 6 次.

> 几个分布常见的题目是求：第一次，比如抽奖第一次抽中的概率，破解密码第一次破解成功的概率，开门的概率等等，详见下面例题

`例`某人有 $n$ 把钥匙，仅有一把能打开门．随机取一把试开，开后放回，直到打开为止．求第 $k$ 次才打开门的概率？

解 设 $X$ 为开门次数，由已知，得 $X$ 服从几何分布，且 $p=\frac{1}{n}$ ．
所以

$$
P\{X=k\}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{n} \quad(k=1,2,3, \cdots) .
$$

`例`设一盒产品中有 6 件正品， 2 件次品．现每次有放回地任取一件，直到取到正品为止。求抽取次数的分布律。

解 用 $X$ 表示抽取的次数，则其取值是所有正整数。抽取 $k$ 次意味着前 $(k-1)$ 次都没有取到正品，而最后一次取到正品。因为每次是否取到正品是相互独立的，且每一次取得正品的概率都为 $\frac{ C _6^1}{ C _8^1}=\frac{3}{4}$ ，所以 $X$ 的分布律为

$$
P\{X=k\}=\left(1-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4^k} \quad(k=1,2, \cdots) .
$$

## 几何分布的无记忆性

定理   (几何分布的无记忆性) 设 $X \sim G e(p)$, 则对任意正整数 $m$ 与 $n$ 有

$$
P(X>m+n \mid X>m)=P(X>n) .
$$

在证明之前先解释上述概率等式的含义. 在一列伯努利试验序列中, 若首次成功 (A) 出现的试验次数 $X$ 服从几何分布, 则事件 $\{X>m\}$ 表示前 $m$ 次试验中 $A$ 没有出现.假如在接下去的 $n$ 次试验中 $A$ 仍末出现, 这个事件记为 $\{X>m+n\}$.

这个定理表明: 在前 $m$ 次试验中 $A$ 没有出现的条件下, 在接下去的 $n$ 次试验中 $A$ 仍末出现的概率只与 $n$ 有关, 而与以前的 $m$ 次试验无关, 似乎忘记了前 $m$ 次试验结果, 这就是无记忆性.

> 几何分布更通俗的解释：抽奖，几个人抽奖先抽和后抽每个人抽到的概率相等，在不知道结果的情况下，前面的人抽后，对后面人抽奖没有影响

关于更多概率分布表见[附录1：常见概率分布表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1490)

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