最后更新: 2025-05-16 21:17 查看: 54 次反馈同步训练

离散型(多项分布)

## 离散型(多项分布)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[两点分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[二项分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526)。但是实际情况更复杂。这就像红绿灯，我们知道红灯停，绿灯行，但是中间还有一个黄灯，在黄灯亮起的情况下，虽然不推荐行走，但是如果真的行走也并不违反。 换句话说，对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果不用合格或者不合格表示，而使用“正品，次品，废品”3个状态表示,这就是本节介绍的多项分布。

推广伯努利分布的方法有若干种．我们得到的第一个结果是二项分布，用来研究这种情况：我们进行多次独立重复的试验，并且每次试验都有两种可能结果．对于所有试验来说，每种结果出现的概率都是一样的。你可以把这个过程想像成抛掷硬币，或者在只有两种选择的选举中投票。显然，只有两种选择是相当有限的，这表明了我们应该把二项分布进一步推广到多项分布。与二项分布一样，多项分布考虑的是进行多次独立重复的试验，并且每种结果在任意一次试验中发生的概率都相同。但是，如果每次试验有**两种以上的可能结果**，那么多项分布将给出不同结果的概率．这是很有用的，因为现实生活中经常出现两种以上的可能结果！

假设我们进行了 $n$ 次试验，并且每次试验有 $k$ 个互不相容的结果，其概率分别是 $p_1, p_2, \cdots, p_k$ 。让 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_k\right)$ 表示在这 $n$ 次试验中，第 $i$ 种可能的结果出现了 $x_i$ 次的概率，其中 $1 \leqslant i \leqslant k$ 。我们一定有 $x_1+x_2+\cdots+x_k=n$ ．为了求出 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_k\right)$ ，首先注意到，按照某种特定顺序得到这些结果的概率是 $p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}$ ．现在来计算能够得到这些结果的可能顺序有多少种。第1种结果出现 $x_1$ 次的方法有 $\binom{n}{x_1}$ 种，第 2 种结果出现 $x_2$ 次的方法有 $\binom{n-x_1}{x_2}$ 种，依此类推，第 $k$ 种结果出现 $x_k$ 次的方法有 $\binom{n-x_1-x_2-\cdots-x_{k-1}}{x_k}$ ．因此，排序方法的总数为

$$
\begin{aligned}
& \binom{n}{x_1}\binom{n-x_1}{x_2} \cdots\binom{n-x_1-x_2-\cdots-x_{k-1}}{x_k} \\
= & \frac{n!}{\left(n-x_1\right)!x_{1}!} \cdot \frac{\left(n-x_1\right)!}{\left(n-x_1-x_2\right)!x_{2}!} \cdots \frac{\left(n-x_1-\cdots-x_{k-1}\right)!}{\left(n-x_1-\cdots-x_k\right)!x_{k}!} .
\end{aligned} 
$$

通过约分，现在只剩下了

$$
\dfrac{n!}{x_{1}!x_{2}!\cdots x_{k}!}  ...(2.1)
$$

式（2.1）被称为多项式系数，记作

$$
\binom{n}{x_1, x_2, \cdots, x_k}
$$

利用多项式系数，我们看到

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\dfrac{n!}{x_{1}!x_{2}!\cdots x_{k}!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}
$$

这是一个多项分布．我们经常写成 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; p_1, p_2, \cdots, p_k\right)$ ，从而强调该分布对参数的依赖性（参数通常会放在分号的后面）．

我们也可以通过重复使用二项式定理和分组方法来导出多项分布．例如，当 $k=3$ 时，一共有三种结果，不妨设为 $A, B$ 和 $C$ 。我们可以合并 $B$ 和 $C$ ，并考虑只有两种结果的情况：$A$ 和非 $A$ ．如果让 $p_1$ 等于 $A$ 的概率，让 $1-p_1$ 等于非 $A$ 的概率，那么 $A$ 出现 $x_1$ 次且非 $A$ 出现 $n-x_1$ 次的概率就是

$$
\binom{n}{x_1} p_1^{x_1}\left(1-p_1\right)^{n-x_1}
$$

设 $p_2$ 是结果 $B$ 的概率，$p_3$ 是结果 $C$ 的概率．如果已知 $A$ 不发生，那么 $B$ 发生的概率就是 $\frac{p_2}{p_2+p_3}, C$ 发生的概率就是 $\frac{p_3}{p_2+p_3}$ ．注意，这些是条件概率，它们的和之所以等于 1 是因为 $\frac{p_2}{p_2+p_3}+\frac{p_3}{p_2+p_3}=1$ ．

因此，结果 $A$ 出现 $x_1$ 次，结果 $B$ 出现 $x_2$ 次且结果 $C$ 出现 $x_3=n-x_1-x_2$次的概率就等于

$$
\binom{n}{x_1} p_1^{x_1}\left[\binom{n-x_1}{x_2}\left(\frac{p_2}{p_2+p_3}\right)^{x_2}\left(\frac{p_3}{p_

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