最后更新: 2025-12-18 21:26 查看: 82 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

离散型(多项分布)

## 离散型(多项分布)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[两点分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[二项分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526)。但是实际情况更复杂。这就像红绿灯，我们知道红灯停，绿灯行，但是中间还有一个黄灯，在黄灯亮起的情况下，虽然不推荐行走，但是如果真的行走也并不违法。 换句话说，对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果不用合格或者不合格表示，而使用“正品，次品，废品”3个状态表示,足球比赛的结果有胜、平、负三种，这就是本节介绍的[多项分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)。

## 多项分布的背景
要理解多项分布，最好从我们熟悉的二项分布开始。二项分布描述在$n$次独立的伯努利试验中，“成功”次数的概率分布。二项分布每次试验只有两种可能结果：**成功**（通常记为“1”）和**失败**（通常记为“0”）。 例如 抛硬币10次（n=10），正面朝上的次数。这里只有“正面”和“反面”两种结果。

二项分布的局限性很明显：他的结果只能有两种，但是现实中，结果可能不止两种，例如抽查一批产品的结果是“正品、次品、废品”，比赛的“输、赢、平”，掷一个六面骰子60次（n=60），统计出1点、2点、...、6点各自出现的次数。这里有6种结果。这种在一次实验中有多个结果被称作多项分布。
因此，多项分布描述的是在$n$次独立试验中，**多种互斥结果**各自出现次数的概率分布。

>  二项分布就像只问“是/否”的判断题，而 多项分布就像问“A/B/C/D/...”等多个选项的多选题。

## 多项分布的概率质量函数

假设我们进行$n$次独立试验，每次试验可能出现$k$种互斥的结果，分别记为类别 $C_1, C_2, ..., C_k$。

我们定义：
（1）$X = (x_1, x_2, ..., x_k)$：一个随机向量，表示在$n$次试验中，结果 $C_1$ 出现 $x_1$ 次，$C_2$ 出现 $x_2$ 次，...，$C_k$ 出现 $x_k$ 次。
（2）$p = (p_1, p_2, ..., p_k)$：一个概率向量，表示每次试验中，结果 $C_i$ 出现的概率为 $p_i$。
（3）约束条件
①$x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ （总试验次数为n）
②$p_1 + p_2 + ... + p_k = 1$ （所有概率之和为1）
     
那么，随机向量 $X$ 服从参数为 $(n,p)$ 的**多项分布**，记作：
$$
X  \sim  M(n,p)
$$

其**概率质量函数**为

$$
\boxed{
P(X_1 = n_1, X_2 = n_2, ..., X_k = n_k) =  \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!} \cdot p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_k^{n_k}
}
$$

**公式各部分含义拆解**
 （1）组合数部分：$\displaystyle \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$
这部分称为 **多项式系数**，作用是计算「将 $n$ 次试验分配为 $n_1$ 次结果1、$n_2$ 次结果2……$n_k$ 次结果 $k$」的**排列方式数**。
- 本质：相当于把 $n$ 个不同的位置，分成 $k$ 组，每组分别有 $n_1,n_2,\dots,n_k$ 个位置的分法数。
- 特例：当 $k=2$ 时，多项式系数退化为二项式系数 $\displaystyle \frac{n!}{n_1! \cdot (n-n_1)!} = C_n^{n_1}$，此时多项分布退化为二项分布。

（2）概率乘积部分：$\displaystyle p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_k^{n_k}$
这部分是「指定某一种排列顺序时，$n_1$ 次结果1、$n_2$ 次结果2……$n_k$ 次结果 $k$」的**概率**。
- 由于试验独立，多次试验的概率是单次概率的乘积：
  结果1出现 $n_1$ 次的概率是 $p_1^{n_1}$，结果2出现 $n_2$ 次的概率是 $p_2^{n_2}$，以此类推。

（3）整体含义
**多项式系数 × 指定排列的概率** = 所有满足「结果1出现 $n_1$ 次、结果2出现 $n_2$ 次……

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