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概率论与数理统计
第二篇 随机变量及其分布
二项分布
日期:
2023-12-27 07:22
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二项分布
设对一随机试验 $\mathrm{E}$ ,我们只关心某个事件 $A$ 发生与否,此时试验的结果可以看成只有两种: $A$ 发生或者 $A$ 不发生。那么称这个试验为贝努利试验. 比如产品的合格与不合格,成绩的及格与不及格都满足二项分布。 因为 $n$ 重伯努利试验的基本结果可以记作 $$ \omega=\left(\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n\right), $$ 其中 $\omega_i$ 或者为 $A$, 或者为 $\bar{A}$. 这样的 $\omega$ 共有 $2^n$ 个, 这 $2^n$ 个样本点 $\omega$ 组成了样本空间 $\Omega$.下面求 $X$ 的分布列, 即求事件 $\{X=k\}$ 的概率. 若某个样本点 $$ \omega=\left(\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n\right) \in\{X=k\} $$ 意味着 $\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n$ 中有 $k$ 个 $A, n-k$ 个 $\bar{A}$, 所以由独立性知, $$ P(\omega)=p^k(1-p)^{n-k} . $$ 而事件 $\{X=k\}$ 中这样的 $\omega$ 共有 $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ 个, 所以 $X$ 的分布列为 $$ P(X=k)=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}, k=0,1, \cdots, n . $$ 这个分布称为二项分布, 记为 $X \sim b(n, p)$. 容易验证其和恒为 1 , 即 $$ \sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}=[p+(1-p)]^n=1 . $$ 由此可见, 二项概率 $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}$ 恰好是 $n$ 次二项式 $(p+(1-p))^n$ 的展开式中的第 $k+1$ 项,这正是其名称的由来. 二项分布是一种常用的离散分布,譬如, - 检查 10 件产品, 10 件产品中不合格品的个数 $X$ 服从二项分布 $b(10, p)$, 其中 $p$为不合格品率. - 调查 50 个人, 50 个人中患色盲的人数 $Y$ 服从二项分布 $b(50, p)$, 其中 $p$ 为色盲率. - 射击 5 次, 5 次中命中次数 $Z$ 服从二项分布 $b(5, p)$, 其中 $p$ 为射手的命中率. **例1** 某特效药的临床有效率为 0.95 , 今有 10 人服用, 问至少有 8 人治愈的概率是多少? 解 设 $X$ 为 10 人中被治愈的人数, 则 $X \sim b(10,0.95)$, 而所求概率为 $$ \begin{aligned} P(X \geqslant 8) & =P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \\ & =\left(\begin{array}{c} 10 \\ 8 \end{array}\right) 0.95^8 0.05^2+\left(\begin{array}{c} 10 \\ 9 \end{array}\right) 0.95^9 0.05+\left(\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}\right) 0.95^{10} \\ & =0.0746+0.3151+0.5987=0.9884 . \end{aligned} $$ 10人种至少8人被治愈的概率为 0.9884 **例2** 人向同一目标重复独立射击5次,每次命中目标的概率为 $0.8$ ,求 (1) 此人 能命中3次的概率;(2)此人至少命中2次的概率。 设 $X$ 表示在5次重复独立射击中命中的次数,则 $$ X \sim B(5,0.8) $$ 1 $P(X=3)=\left(\begin{array}{l}5 \\ 3\end{array}\right) \times 0.8^3 \times 0.2^2=0.2048$ $2 \quad P(X \geq 2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=0.99328$
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