最后更新: 2025-05-16 20:55 查看: 524 次反馈同步训练

离散型(二项分布)

> 本节简单的说，抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[两点分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)。单纯抽查一次作用不大，可以抽查多次(**需要放回**)，这就是本节介绍的**二项分布**。
 
 
设对一随机试验 $\mathrm{E}$ ，我们只关心某个事件 $A$ 发生与否，此时试验的结果可以看成只有两种: $A$ 发生或者 $A$ 不发生。那么称这个试验为**伯努利试验**.

接下来将引入二项分布，考察二项分布的方法有两种．

**方法一**：我们可以每次拋掷一枚硬币，然后记录正面出现的次数，然后抛掷 $n$ 次。

**方法二**：我们有 $n$ 枚独立的硬币，并且每一枚硬币出现成功的概率都是 $p$ 。把他一次性的放在手里同时抛郑它们，并记录正面出现的次数。

这两种观点都很有用。很明显，在抛掷硬币的实验里，第一次抛掷的结果不影响第二次抛掷的结果，所以我们假设了硬币的独立性，因此这两种看法是等价的。**即一次抛掷 $n$ 枚硬币与抛郑一枚硬币 $n$ 次没什么区别。**

### 解读方法一
现在我们使用方法一对二项分布进行举例。
假设车间生产了一批产品，其中 $a$ 个是合格的，$b$ 个是不合格的。我们用 $A$ 表示＂取到产品是合格的＂，那么一次检测中，合格率为 $P(A)=\dfrac{a}{a+b}$ 。
 
若连续检测 $n$ 个产品（需要放回）抽样，这就是 $n$ 重伯努利试验。

以 $X$ 表示 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，$X$ 是一个随机变量，我们来求它的分布律．$X$ 所有可能取的值为 $0,1,2, \cdots, n$ ．由于各次试验是相互独立的，

因此事件 $A$ 在指定的 $k(0 \leqslant k \leqslant n)$ 次抽查中发生，在其他 $n-k$ 次试验中 $A$不发生 的概率为：
 
$$
\begin{aligned}
\underbrace{p \cdot p \cdot \cdots \cdot p}_{k \uparrow} \cdot \underbrace{(1-p) \cdot(1-p) \cdot \cdots \cdot(1-p)}_{n-k \uparrow}=p^k(1-p)^{n-k} .
\end{aligned}
$$

这种指定的方式共有 $\binom{n}{k}$ 种，它们是两两互不相容的，故在 $n$ 次试验中 $A$ 发生 $k$ 次的概率为 $\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}$ ，记 $q=1-p$ ，即有

$$
P\{X=k\}=\binom{n}{k} p^k q^{n-k}, k=0,1,2, \cdots, n .
$$

### 解读方法二
现在我们对上面的例子用方法二进行解读：有3个产品，每个产品都有合格和不合格两种可能，那么，这3个产品的结果可以记为
$(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1)$ 共$2^3=8$ 种可能。

其中$(0,0,0)$表示$3$个产品都不合格，$(1,1,1)$ 表示$3$个产品都合格，而$(0,0,1)$表示第一个第二个不合格，第三个合格。

以此类推，因为 $n$ 重伯努利试验的基本结果可以记作

$$
X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n \right),
$$

其中 $x_i$ 的值为 $A$, 或者为 $\bar{A}$. 这样的 $\omega$ 共有 $2^n$ 个, 这 $2^n$ 个样本点 $\omega$ 组成了样本空间 $\Omega$.
 
求 $X$ 的分布列, 即求事件 $\{X=k\}$ 的概率. 若某个样本点

$$
X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n \right) \in\{X=k\}
$$

意味着 $x_1, x_2, \cdots, x_n $ 中有 $k$ 个 $A, n-k$ 个 $\bar{A}$, 所以由独立性知,

$$
P(x)=p^k(1-p)^{n-k} .
$$

而事件 $\{X=k\}$ 中这样的 $x$ 共有 $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ 个, 所以 $X$ 的分布列为

$$
P(X=k)=\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}, k=0,1, \cdots, n .
$$

这个分布称为**二项分布**, 记为 $X \sim B(n, p)$.

下面给出具体的定义

>组合里，组合记法有苏联式记法和美国式记法。苏式记法是 $C_n^m$  而美式记法 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$, 详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=202)

### 通俗理解二项方便
掷一枚硬币出现正面和反面的概率各为 0.5 ，那么掷 1 次，出现正面的概率肯定是0．5。掷2次、掷3次呢？

掷 2 次出现的结果有 4 个，正正、正反、反正、反反。因为 $p =0.5$ ，所以每个结果出现的概率是 $0.5 \times 0.5=0.25$ ，那正面出现 2 次、 1 次、 0 次的概率分别是 $0.25 、 0.5 、 0.25$ 。

掷 3 次出现的结果有 8 个，正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反。每个结果出现的概率是 $0.5 \times 0.5 \times 0.5=0.125$ ，那正面出现 3 次、 2 次、 1 次、 0 次的概率分别是 $0.125 、 0.375 、 0.375 、 0.125$ 。

统计学家们总结出了计算概率的一般公式

$$
b(x, n, p)=C_n^x p^x q^{n-x}
$$

其中 $b$ 表示二项分布的概率，$n$ 表示试验次数，$x$ 表示出现某个结果的次数，是组合，表示在 $n$次试验中出现 $x$ 次结果的可能的次数。如 10 次试验，出现 0 次正面的次数有 1 次，出现 1 次正面的次数有 10 次，等等。其计算也有一个通式：

$$
C_n^x=\frac{n \times(n-1) \times \cdots \times(n-x+1)}{x \times(x-1) \times \cdots \times 1}
$$

## 二项分布定义
若随机变量 $X$ 的分布律为

$$
P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}, \quad k=0,1, \cdots, n,
$$

则称 $X$ 服从参数为 $n 、 p$ 的二项分布（Binomial Distribution）, 记为 $X \sim B(n, p)$.

当 $n=1$ 时, 二项分布就是上节介绍的 **$(0-1)$ 分布**, 故 $(0-1)$ 分布的分布律也可写成

$$
P(X=k)=p^k q^{1-k},
$$

其中 $q=1-p, k=0,1$.

`例`某特效药的临床有效率为 0.95 , 今有 10 人服用, 问至少有 8 人治愈的概率是多少?
  解 设 $X$ 为 10 人中被治愈的人数, 则 $X \sim B(10,0.95)$, 而所求概率为

$$
\begin{aligned}
P(X \geqslant 8) & =P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \\
& =\left(\begin{array}{c}
10 \\
8
\end{array}\right) 0.95^8 0.05^2+\left(\begin{array}{c}
10 \\
9
\end{array}\right) 0.95^9 0.05+\left(\begin{array}{c}
10 \\
10
\end{array}\right) 0.95^{10} \\
& =0.0746+0.3151+0.5987=0.9884 .
\end{aligned}
$$

10人种至少8人被治愈的概率为 0.9884

### 应用场景
二项分布是一种常用的离散分布,譬如,

- 检查 10 件产品, 10 件产品中不合格品的个数 $X$ 服从二项分布 $b(10, p)$, 其中 $p$为不合格品率.
- 调查 50 个人, 50 个人中患色盲的人数 $Y$ 服从二项分布 $b(50, p)$, 其中 $p$ 为色盲率.
- 射击 5 次, 5 次中命中次数 $Z$ 服从二项分布 $b(5, p)$, 其中 $p$ 为射手的命中率.

## 例题

`例`人向同一目标重复独立射击5次，每次命中目标的概率为 $0.8$ ，求 (1) 此人 能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。
解：设 $X$ 表示在5次重复独立射击中命中的次数，则

$$
X \sim B(5,0.8)
$$

1 $P(X=3)=\left(\begin{array}{l}5 \\ 3\end{array}\right) \times 0.8^3 \tim

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