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概率论与数理统计
第二篇 随机变量及其分布
0-1分布
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更新:
2023-12-27 07:27
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0-1分布
**0-1分布** 0-1分布是二项分布的一个特殊情况。他也被称作二点分布或者伯努利分布。 $n=1$ 时的二项分布 $b(1, p)$ 称为二点分布, 或称 0-1 分布, 或称伯努利分布, 其分布列为 $$ P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}, \quad x=0,1 . $$ 或记为  二点分布 $b(1, p)$ 主要用来描述一次伯努利试验中成功 (记为 $A$ ) 的次数 ( 0 或 1 ). 很多随机现象的样本空间 $\Omega$ 常可一分为二, 记为 $A$ 与 $\bar{A}$, 由此形成伯努利试验. $n$重伯努利试验是由 $n$ 个相同的、独立进行的伯努利试验组成, 若将第 $i$ 个伯努利试验中 $A$ 出现的次数记为 $X_i(i=1,2, \cdots, n)$, 由于 $n$ 重伯努利试验中, 每个伯努利试验是相互独立的, 故其产生的 $n$ 个随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 也相互独立 (随机变量的独立性定义见 83.2$)$, 且服从相同的二点分布 $b(1, p)$. 此时其和 $$ X=X_1+X_2+\cdots+X_n $$ 就是 $n$ 重伯努利试验中 $A$ 出现的总次数, 它服从二项分布 $b(n, p)$. 这就是二项分布 $b(n, p)$ 与二点分布 $b(1, p)$ 之间的联系, 即服从二项分布的随机变量总可分解为 $n$ 个独立同为二点分布的随机变量之和.
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