最后更新: 2025-05-16 14:05 查看: 486 次反馈同步训练

离散型(两点分布)

> 本节简单的说，抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是两点分布。
 
## 理解常见的随机变量与分布

在学习本章内容时，会学习二项分布、泊松分别、指数分布、正态分布等，读者需要记住常见情况下使用哪种分布。比如医院急求病人分布，轮胎损坏分布等，必须知道在这种情况下应该大致使用哪种分布。如果不了解每个分布应用的场景，将难于做题。考试基本上就考那几种场景。

## 伯努利试验 
设对一随机试验 $\mathrm{E}$ ，我们只关心某个事件 $A$ 发生与否，此时试验的结果可以看成只有两种: $A$ 发生或者 $A$ 不发生。那么称这个试验为**伯努利试验**.

比如产品质量的**合格与不合格**，投币的**正面与反面**，成绩的**及格与不及格**，对候选人的**支持与不支持**，足球比赛的**输与赢**，明天的**下雨与不下雨**，战争的**胜利与失败**,电力的**超载与非超载**等等都可以看成伯努利试验（Bernoulli distribution）。

对于伯努利实验，我们需要把他“数字化”，就像投硬币，如果用1表示正面，那么用0就就可以表示反面。 再如检查产品是否合格，如果用1表示合格，那么用0就表示不合格，因此我们引入伯努利分布：

## 伯努利分布（两点分布）

**伯努利分布**：
若随机变量 $X$ 只可能取 $x_1$ 与 $x_2$ 两个值, 它对应取值的概率分别是

$$
P\left\{X=x_1\right\}=1-p, \quad P\left\{X=x_2\right\}=p \quad(0<p<1),
$$ 
则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的叫做**伯努利分布**或者**两点分布**，记做$X \sim b(1, p)$.

这里，我们可以把结果 1 看作成功，把结果 0 看作失败。
 
> 伯努利分布在国内有多种叫法，包括两点分布，0-1分布，伯努利分布等等，为了和高中《数学教程》对应，我们有时候把伯努利分布称作两点分布。

因为这里$X$ 取值为 $X=0$ 或$X=1$ 时, 所以伯努利分布布也称为 **$(0-1)$分布**, 记为 $X \sim(0-1)$ 分布,。

伯努利分布可以用下表列出。

![图片](/uploads/2024-11/edfa07.jpg)

通俗理解，成功的概率为$p$, 失败的概率为$1-p$ , 其分布列也可以写成函数形式，即

$$
\boxed{
P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}, \quad x=0,1 .
}
$$

伯努利分布 $b(1, p)$ 主要用来描述**一次**伯努利试验中成功的次数.一个服从伯努利分布的随机变量并没有太多用处但是,如果考虑多枚硬币或者不断地重复抛掷同1枚硬币,那么情况就会发生很大的变化这就是下一节介绍的二项分布。

### 伯努利分布应用场景
在一些随机试验中, 它的样本空间只包含两个元素,即 $\Omega=\left\{\omega_1, \omega_2\right\}$, 因此可以在 $\Omega$ 上定义一个服从 $X \sim(0-1)$ 分布的随机变量: $X=X(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \omega=\omega_1 \\ 1, & \omega=\omega_2\end{array}\right.$ 来描述随机试验结果. 因此，只包含两个基本事件的随机试验可以用两点分布来描述. 也就是说，若一个随机试验只关心某事件出现与否，则可用一个服从 $(0-1)$ 分布的随机变量来描述。例如，抛一枚硬币试验中出现 "正面" 与 "反面" 的概率分布；产品抽验试验中 "正品"与 "次品"的概率分布等.

`例` 200 件产品中, 有 196 件是正品, 4 件是次品, 今从中随机地抽取一件, 若规定

$$
X=\left\{\begin{array}{l}1, \text { 取到正品 } \\ 0 \text {, 取到次品 }\end{array}\right.
$$

则 $P\{X=1\}=\frac{196}{200}=0.98, P\{X=0\}=\frac{4}{200}=0.02$, 于是, $X$ 服从参数为 0.98 的两点分布，即$X \sim b(1,0.98)$

## 两点分布的数学期望和方差
从0-1分布表里不难得出

$$
\begin{aligned}
E(X) & =1 \cdot p+0 \cdot q=p \\
D(X) & =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2

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