最后更新: 2026-01-13 11:54 查看: 103 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵乘法(矩阵左乘)★★★★★

## 什么是矩阵左乘？

**矩阵左乘**，顾名思义，就是将一个矩阵 **A** 放在另一个矩阵（或向量） **B** 的**左边**，进行乘法运算，记作 **A × B**。

*   **左乘**：A 在 B 的左边 -> A * B
*   **右乘**：B 在 A 的左边 -> B * A （注意：B * A 在数学上等于 A 被 B 右乘）

**关键点：** 矩阵乘法不满足交换律，即绝大多数情况下  A * B ≠ B * A 。因此，**左乘和右乘是完全不同的两个操作**，会产生完全不同的结果。理解这一点至关重要。一个重要口诀是

> **左乘是行变换，右乘是列变换**

## 理解：矩阵左乘是行变换

下面例子演示了左乘的意思，对于$A \times B=C$,以$B$为静止的参照物

$$
\left[
\begin{array}{l}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right ]

\left[
\begin{array}{l}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{array}
\right ] =
\begin{bmatrix}
2 & 8 & 14 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}
$$
从结果看,可以得到一个结论：
> **一个矩阵$B$左乘一个矩阵$A$，相当于对矩阵$B$行进行了行变换。**

下面第一个图显示，左乘一个矩阵，相当于对第一行放大2倍。第二个图显示左乘一个矩阵，相当于对第二行放大2倍。

![图片](/uploads/2025-09/1fa866.jpg)
 
 
 
### 1. 第一个例子

考虑$M_1 \times B $

$$
M_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
左乘 $B$：  
- 第 1 行变成 $2 \times (\text{第1行 of }B)$
- 第 2 行不变  
- 第 3 行不变

这是对 $B$ 的 **行1 缩放 2 倍**。
 
 
 ### 2. 第二个例子
 考虑$M_2 \times B $

$$
M_2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
左乘 $B$：  
- 新第 1 行 = $2 \times \text{row1} + 3 \times \text{row2}$  
- 第 2、3 行不变

这是 **行1 ← 2×行1 + 3×行2** 的**行线性组合**。

### 3. 第三个例子
考虑$M_3 \times B $

$$
M_3 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
左乘 $B$：  
- 新第 1 行 = $2 \times \text{row1}$  
- 新第 2 行 = $3 \times \text{row1} + 1 \times \text{row2}$  
- 第 3 行不变

这是 **行1 缩放** 与 **行2 替换为 3×行1 + 行2**。

### 4. 第四个例子
$A \times B=C $：

$$
  \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}  \times  \begin{bmat

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