最后更新: 2025-12-04 18:23 查看: 246 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

卡方分布χ²-独立检验-Part1

## 自由度
在介绍三大分布之前，我们先说一下自由度。
### 从方程理解自由度
假设有一个3元函数
$x+y+z=1 ...(1)$

在这个等式里，可以改写为
$x=1-y-z$
这意味着，虽然方程有3个未知量（变量能随便取值的数量称呼自由度），但是因为其和为1，这使得，每给定一对$(y,z)$，那么$x$值也就固定了， 所以$x$ 并不能随便取值，因此，我们说他的自由度为：2.

如果再增加一个限制
$y=2z ...(2)$

这样，每随意给$z$一个值，$y$就固定了，而再由（1）知道$x$值也会固定，因此他的自由度为：1

> 换句话说，每增加一个等式，会使得自由度减少1。

## 卡方检验χ²的引入

χ²分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K．Pearson)分别于1875年和1900年推导出来。

> **χ²分布的主要用途，其实不是拿来用于自然现象的建模，而是用于假设检验用的。**

Pearson在1900年提出χ²的论文，其实介绍的是χ²检验中的拟合优度检验。卡方检验主要用于分析两个分类变量的相关关系.

## 独立检验
我们通过一个简单例子来理解独立检验的实际意义。在许多实际问题中，我们需要考察两个分类变量之间是否有关系。例如，考察患肺癌与吸烟之间是否有关系。

为了了解患肺癌与吸烟之间的关系，某医疗机构调查了其他条件都基本相同的 100 个人，调查结果如下表（表中 $X$ 表示＂是否吸烟＂，$Y$ 表示＂是否患肺癌＂）。
 ![图片](/uploads/2025-02/9b27c0.jpg){width=600px}
 
 
像上表这样，将两个分类变量进行交叉分类得到的频数分布表称为列联表；称 $X, Y$ 为分类变量，其中变量 $X$ 有两个变量值——＂吸烟＂和＂不吸烟＂，变量 $Y$ 有两个变量值——＂患肺癌＂和＂未患肺癌＂。

由于所涉及的两个分类变量 $X, Y$ 均有两个变量值，所以称上表为 **$2 \times 2$ 列联表**．

从表 4－3 可以得出，在 54 个吸烟的人中有 39 人患肺癌，患者占 $39 / 54 \approx$ $72.22 \%$ ；在不吸烟的 46 人中，有 21 人患肺癌，患者占 $21 / 46 \approx 45.65 \%$ 。吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高出约

$$
72.22-45.65=26.57 \text { (个百分点). }
$$

这种差异似乎已经说明吸烟与患肺癌有很大关系。但仔细想想，由于这 100 人是随机选取的，会不会是由于随机抽样的误差，使得所抽取的 60 名肺癌患者中碰到了较多的吸烟者，而在 40 名未患肺癌者中碰到了较多的不吸烟者？这样也可能导致吸烟者中肺癌患者的比例比不吸烟者中肺癌患者的比例高。

于是，我们还需进一步用统计方法来检验，因为单凭随机抽样的误差可能还不
足以造成如此大的差异。
为了讨论的方便我们引人以下记号：
变量 $X: A=$ 吸烟， $\bar{A}=$ 不吸烟；
变量 $Y: B=$ 患肺癌, $\bar{B}=$ 未患肺癌．
我们将表 4－3 中的数字用字母代替得到如下列联表：
 ![图片](/uploads/2025-02/65f694.jpg){width=600px}
 
 在本案例中，
$$
\begin{aligned}
& a=39, b=15, c=21, d=25 \\
& n=a+b+c+d=100 \\
& a+b=54 \\
& c+d=46 \\
& a+c=60 \\
& b+d=40 \\
\end{aligned}
$

其他版本
【概率论与数理统计】单正态总体方差的假设检验(卡方检验)【概率论与数理统计】卡方分布χ²-前世今生-Part5 【概率论与数理统计】卡方分布χ²-拟合度检验-Part2 【概率论与数理统计】卡方分布χ²-密度与分布函数的性质-Part3 【概率论与数理统计】拟合优度检验【概率论与数理统计】卡方分布χ²-前世今生-Part4

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