最后更新: 2025-01-20 10:25 查看: 232 次反馈刷题

单位冲激函数

## 为什么要引入单位冲激函数
理由（1）在数学，物理学以及工程技术中，一些常用的重要函数，如常数函数，线性函数，符号函数以及单位阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。
（2）周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的Fourier 变换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否统一起来。
（3）在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常的函数形式来描述，如冲击力，脉冲电压，质点的质量等等。

长度为 $a$ ，质量为 $m$ 的均匀细杆放在 $x$ 轴的 $[0, a]$ 区间上，则它的线密度函数为 $P_a(x)=\left\{\begin{array}{cc}m / a, & 0 \leq x \leq a, \\ 0, & \text { 其它。 }\end{array}\right.$
 质量为 $m$ 的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于细杆取 $a \rightarrow 0$ 的结果。相应地，质点的密度函数为

$$
P(x)=\lim _{a \rightarrow 0} P_a(x)= \begin{cases}\infty, & x=0, \\ 0, & x \neq 0\end{cases}
$$

显然，该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息，还必须在此基础上附加一个条件 $\int_{-\infty}^{+\infty} P(x) d x=m$ ．
 
 
 ## 定义 
 单位冲激函数 $\delta(t)$ 满足：
（1）当 $t \neq 0$ 时，$\delta(t)=0$ ；
（2） $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) d t=1$ ．
 单位冲激函数 $\delta(t)$ 又称为 Dirac 函数或者 $\delta$ 函数。
 显然，借助单位冲激函数，前面引例中质点的密度函数就可表示为 $P ( x )= m \delta ( x )$ ．
 
 注（1）单位冲激函数 $\delta(t)$ 并不是经典意义下的函数，而是一个广义函数（或者奇异函数），它不能用通常意义下的 ＂值的对应关系＂来理解和使用，而总是通过它的性质来使用它。
（2）单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式是由 Dirac（狄拉克）给出的。

### 单位冲激函数的性质
性质（1）筛选性质
设函数 $f(t)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的有界函数，且在 $t=0$ 处连续，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) f(t) d t=f(0)$ ．

一般地，若 $f(t)$ 在 $t=t_0$ 点连续，则

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta\left(t-t_0\right) f(t) d t=f\left(t_0\right) .
$$

（2）对称性质
$\delta$ 函数为偶函数，即 $\delta(t)=\delta(-t)$ ．

### 单位冲激函数的图形表示
 $\delta$ 函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点出发长度为 1 的有向线段来表示，其中有向线段的长度代表 $\delta$ 函数的积分值，称为冲激强度。
 同样有，函数 $A \delta(t)$ 的冲激强度为 $A$ 。
  ![图片](/uploads/2025-01/53aac0.jpg)
 
 
 ## 单位冲激函数的其它定义方式   
 
 方式一 令 $\delta_{\varepsilon}(t)=\left\{\begin{array}{cc}1 / \varepsilon, & 0 \leq t \leq \varepsilon, \\ 0, & \text { 其它，}\end{array}\right.$则 $\delta(t)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \delta_{\varepsilon}(t)$ ．
 
  ![图片](/uploads/2025-01/04b718.jpg)
  
  
  方式二（20 世纪 50 年代，Schwarz）
单位冲激函数 $\delta(t)$ 满足 $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) \varphi(t) d t=\varphi(0)$ ，其中，$\varphi(t) \in C^{\infty}$ 称为检验函数。

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：抽样信号与低通滤波

下一篇：单位冲激函数的傅里叶变换

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)