最后更新: 2025-01-20 10:21 查看: 38 次反馈刷题

单位冲激函数的傅里叶变换

## 单位冲激函数的傅里叶变换
利用筛选性质，可得出 $\delta$ 函数的 Fourier 变换：

$$
F [\delta(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) e^{-j \omega t} d t=\left.e^{-j \omega t}\right|_{t=0}=1 .
$$

即 $\delta(t)$ 与 1 构成Fourier变换对 $\delta(t) \longleftrightarrow 1$ ．
由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。

－按照 Fourier 逆变换公式有

$$
F ^{-1}[1]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} 1 \cdot e ^{j \omega t} d \omega=\delta(t)
$$

重要公式

$$
\boxed{
\int_{-\infty}^{+\infty} e ^{j \omega t} d \omega=2 \pi \delta(t)
}
$$

注 在 $\delta$ 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 $\delta$ 函数的性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。

`例`分别求函数 $f_1(t)=1$ 与 $f_2(t)=t$ 的 Fourier 变换。

解

$$
\text { (1) } \begin{aligned}
F_1(\omega)= F \left[f_1(t)\right] & =\int_{-\infty}^{+\infty} 1 \cdot e^{-j \omega t} d t \\
& =2 \pi \delta(-\omega)=2 \pi \delta(\omega) .
\end{aligned}
$$

（2）将等式 $\int_{-\infty}^{+\infty} e ^{-j \omega t} d t=2 \pi \delta(\omega)$ 的两边对 $\omega$ 求导，有

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\infty}^{+\infty}(-j t) e^{-j \omega t} d t=2 \pi \delta^{\prime}(\omega), \\
\Rightarrow & \int_{-\infty}^{+\infty} t e^{-j \omega t} d t=2 \pi j \delta^{\prime}(\omega),
\end{aligned}
$$

即得 $F_2(\omega)= F \left[f_2(t)\right]=2 \pi j \delta^{\prime}(\omega)$ ．

`例`求函数 $u(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & t>0 \\ 0, & t<0\end{array}\right.$ 的 Fourier 变换 $U(\omega)$ 。

![图片](/uploads/2025-01/188db5.jpg)
 
 解 已知 $F [\operatorname{sgn} t]=\frac{2}{j \omega}$ ，

$$
\begin{array}{r} 
F [1]=2 \pi \delta(\omega), \\
\text { 又 } u(t)=\frac{1}{2}(\operatorname{sgn} t+1),
\end{array}
$$

得 $U(\omega)=\frac{1}{2}( F [\operatorname{sgn} t]+ F [1])=\frac{1}{j \omega}+\pi \delta(\omega)$ ．
注 称 $u ( t )$ 为单位阶跃函数，也称为 Heaviside 函数，它是工程技术中最常用的函数之一。

`例` 分别求函数 $f_2(t)= e ^{j \omega_0 t}$ 与 $f_2(t)=\cos \omega_0 t$ 的 Fourier 变换。

![图片](/uploads/2025-01/dc30c3.jpg)
 
 解

$$
\text { (1) } \begin{aligned}
F_1(\omega) & = F \left[f_1(t)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j \omega_0 t} \cdot e^{-j \omega t} d t \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j\left(\omega_0-\omega\right) t} d t=2 \pi \delta\left(\omega_0-\omega\right)=2 \pi \delta\left(\omega-\omega_0\right) .
\end{aligned}
$$

（2）由 $\cos \omega_0 t=\frac{1}{2}\left( e ^{j \omega_0 t}+ e ^{-j \omega_0 t}\right)$ ，

$$
\text { 有 } \begin{aligned}
F_2(\omega) & = H \left[f_2(t)\right] \\
& =\frac{1}{2}\left( F \left[e^{j \omega_0 t}\right]+ H \left[e^{-j \omega_0 t}\right]\right) \\
& =\pi \delta\left(\omega-\omega_0\right)+\pi \delta\left(\omega+\omega_0\right) .
\end{aligned}
$$

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