最后更新: 2026-03-10 07:26 查看: 292 次纠错评论(0) 课件开VIP

傅里叶变换例题

## 周期函数的傅里叶级数展开
考虑定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上周期为 $T>0$ 的函数 $f(t)$ 。例如
$1, \sin \omega t, \cos \omega t, \sin 2 \omega t, \cos 2 \omega t, \sin 3 \omega t, \cos 3 \omega t, \ldots$
的周期都是 $T$ ，其中 $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ （角速度） 。类似于线性组合的概念，我们希望将 $f$ 表达为上述函数的线性叠加．若 $f(t)$ 在 $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right]$ 上满足狄利克雷条件：
- 间断点只有有限多个，且均为第一类间断点；
- 只有有限个极值点，

则我们有傅里叶级数展开：

$$
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n \omega t+b_n \sin n \omega t\right) .
$$

当 $t$ 是间断点时，傅里叶级数的左侧需改为 $\frac{f(t+)+f(t-)}{2}$ ．

## 傅里叶级数的复指数形式
我们来将其改写为复指数形式。由

$$
\cos x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}, \quad \sin x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i}}
$$

可知 $f(t)$ 的傅里叶级数可以表示为函数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t}$ 的线性叠加

$$
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t}
$$

现在我们来计算这个线性叠加的系数。
对于定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上周期为 $T>0$ 的复值函数 $f, g$ ，定义内积 （这里使用了向量观点，详见 [内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)）

$$
(f, g):=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \bar{g}(t) \mathrm{d} t
$$

那么

$$
\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} m \omega t}, \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t}\right)=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(m-n) \omega t} \mathrm{~d} t= \begin{cases}1, & m=n \\ 0, & m \neq n .\end{cases}
$$

所以

$$
\cdots, \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} \omega t}, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}, 1, \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}, \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \omega t}, \cdots
$$

是一组标准正交基。于是

$$
c_n=\left(f, \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t}\right)=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \omega t} \mathrm{~d} t,
$$

我们得到周期函数傅里叶级数的复指数形式：

$$
f(t)=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \omega \tau} \mathrm{~d} \tau\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t} .
$$

## 帕塞瓦尔恒等式
我们可以利用傅里叶级数计算一些级数的和。由

$$
(f, f)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_m \overline{c_n}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} m \omega t}, \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t}\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left|c_n\right|^2
$$

可得如下等式 帕塞瓦尔恒等式．对于周期为 $T$ 的函数 $f(t)$ ，我们有

$$
\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^2 \mathrm{~d} t=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left|c_n\right|^2
$$

其中 $c_n$ 是它的傅里叶系数，即 $f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t}$ ．

`例`计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ．

解: 设 $f(t)$ 是一个周期为 $2 \pi$ 的函数，且当 $t \in[-\pi, \pi)$时 $f(t)=t$ ．当 $n \neq 0$ 时，

$$
\begin{gathered}
c_n=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi t \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n t} \mathrm{~d} t=\left.\frac{1}{2 \pi}\left(\frac{\mathrm{i} t}{n}+\frac{1}{n^2}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n t}\right|_{-\pi} ^\pi=\frac{(-1)^n \mathrm{i}}{n} . \\
c_0=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi t \mathrm{~d} t=\left.\frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{t^2}{2}\right|_{-\pi} ^\pi=0 . \\
\Longrightarrow \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n^2}=(f, f)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi t^2 \mathrm{~d} t=\frac{\pi^2}{3}, \\
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} .
\end{gathered}
$$

![图片](/uploads/2026-02/3f6707.jpg)
 
 
 ## 从傅里叶级数到傅里叶积分公式

对于一般的函数 $f(t)$ ，它未必是周期的．此时它无法像前面的情形一样，表达成可数多个函数

$$
\cdots, \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} \omega t}, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}, 1, \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}, \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \omega t}, \cdots
$$

的线性叠加，而是所有的 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}, \omega \in(-\infty,+\infty)$ 的叠加．这种叠加的＂系数＂应当是无穷小方可，而求和应当改为积分．所以，若记 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}$ 的＂系数 ＂为函数 $\frac{1}{2 \pi} F(\omega)$ ，则

$$
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} \omega
$$

我们来从傅里叶级数形式地推导出函数 $F(\omega)$ 。考虑 $f(t)$ 它在 $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right]$ 上的限制，并向两边扩展成一个周期函数 $f_T(t)$ ．设

$$
\omega_n=n \omega, \quad \Delta \omega_n=\omega_n-\omega_{n-1}=\omega
$$

则

$$
\begin{aligned}
f(t) & =\lim _{T \rightarrow+\infty} f_T(t) \\
& =\lim _{T \rightarrow+\infty} \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega_n \tau} \mathrm{~d} \tau\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_n t} \\
& =\frac{1}{2 \pi} \lim _{\Delta \omega_n \rightarrow 0} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega_n \tau} \mathrm{~d} \tau\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_n t} \Delta \omega_n \\
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega \tau} \mathrm{~d} \tau\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} \omega
\end{aligned}
$$

傅里叶积分定理．若 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积，且在任一有限区间上满足狄利克雷条件，则

$$
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} \omega, \quad F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} t .
$$

对于 $f(t)$ 的间断点左边需要改成 $\frac{f(t+)+f(t-)}{2}$ ．

![图片](/uploads/2026-02/39bf45.jpg)
 
 若 $f(t)$ 表示随时间 $t$ 变化的函数，那么 $F(\omega)$ 表示的是频率 $\omega$ 的函数，所以傅里叶变换是时域到频域的转换．

傅里叶积分公式有一些变化形式．例如：

$$
\begin{aligned}
f(t) & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega \tau} \mathrm{~d} \tau\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} \omega \\
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega(t-\tau)} \mathrm{d} \tau \mathrm{~d} \omega \\
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}[\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cos \omega(t-\tau) \mathrm{d} \tau}_{\omega \text { 的偶函数 }}+\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \sin \omega(t-\tau) \mathrm{d} \tau}_{\omega \text { 的奇函数 }}] \mathrm{d} \omega \\
& =\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cos \omega(t-\tau) \mathrm{d} \tau\right] \mathrm{d} \omega .
\end{aligned}
$$

此即傅里叶积分公式的三角形式．

## 傅里叶正弦、余弦积分公式

若 $f(t)$ 是偶函数，则 $f(t) \cos \omega t$ 是偶函数，$f(t) \sin \omega t$ 是奇函数，

$$
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} t=2 \int_0^{+\infty} f(t) \cos \omega t \mathrm{~d} t
$$

也是偶函数，从而得到傅里叶余弦积分公式：

$$
f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty} f(\tau) \cos \omega \tau \mathrm{d} \tau\right] \cos \omega t \mathrm{~d} \omega
$$

类似地，若 $f(t)$ 是奇函数，则 $F(\omega)=2 \mathrm{i} \int_0^{+\infty} f(t) \sin \omega t \mathrm{~d} t$ 也是奇函数，且有傅里叶正弦积分公式：

$$
f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty} f(\tau) \sin \omega \tau \mathrm{d} \tau\right] \sin \omega t \mathrm{~d} \omega
$$

## 傅里叶变换的四种类型
根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别：
| 类型 | 名称 |
| -----| -----| ----|
| 非周期性连续信号 |  傅立叶变换（Fourier Transform） |
| 周期性连续信号 |傅立叶级数(Fourier Series) | 
| 非周期性离散信号 |离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform） | 
| 周期性离散信号 |离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)  |

下图是四种原信号图例（从上到下，依次是FT，FS，DTFT，DFT）：

![图片](/uploads/2026-03/1e887c.jpg)
 
 
`例`求以T为周期的函数

$$
f_T(t)= \begin{cases}0, & -\frac{T}{2} \leqslant t<-\frac{\tau}{2} \\ E, & -\frac{\tau}{2} \leqslant t \leqslant \frac{\tau}{2} \\ 0, & \frac{\tau}{2}<t \leqslant \frac{T}{2}\end{cases}
$$

的振幅频谱。

![图片](/uploads/2025-07/493527.jpg)
 
 解：  由 $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ 知，当 $n=0$ 时，

$$
\omega=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) d t=\frac{E T}{T}
$$

当 $n \neq 0$ 时，

$$
\begin{aligned}
c_n= & \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) e^{-i n \omega t} d t=\frac{1}{T} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{T}{2}} E e^{-i n \omega t} d t= \\
& -\left.\frac{E}{i T n \omega} e^{-i n \omega t}\right|_{-\frac{\tau}{2}} ^{\frac{\tau}{2}}=\frac{E}{n \pi} \sin \frac{n \pi \tau}{T}
\end{aligned}
$$

所以 $f_T(t)$ 的傅里叶级数的复指数形式为

$$
f_T(t)=\frac{E}{T}+\sum_{\substack{n=-\infty \\ n \neq 0}}^{+\infty} \frac{E}{n \pi} \sin \frac{n \pi T}{T} e^{i n \omega t}, \quad(n= \pm 1, \pm 2, \cdots)
$$

它的振幅频谱为

$$
\begin{gathered}
A_0=2\left|\omega_0\right|=\frac{2 E T}{T} \\
A_n=2\left|c_n\right|=\frac{2 E}{n \pi}\left|\sin \frac{n \pi \tau}{T}\right|, \quad(n=1,2, \cdots)
\end{gathered}
$$

可根据 $T$ 的取值作出相应的频谱图，如 $T=4 \pi$ 时，其图形如图  所示。

![图片](/uploads/2025-07/397940.jpg)
 
 
 
 `例` 求指数衰减函数

$$
f(t)=\left\{\begin{array}{l}
0, \quad t<0 \\
e^{-\beta t}, \quad t \geqslant 0 \quad(\beta>0)
\end{array}\right.
$$

的傅氏变换，并作出 $f(t)$ 的频谱图。
解 由上面知

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
F(\omega)= & T f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t=\int_0^{+\infty} e^{-(\beta+i \omega) t} d t= \\
& -\left.\frac{1}{\beta+i \omega} e^{-(\beta+i \omega) t}\right|_0 ^{+\infty}=\frac{\beta-i \omega}{\beta^2+\omega^2}
\end{aligned}\\
&\text { 所以 }|F(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{\beta^2+\omega^2}} \text { ，其图形如图 所示。 }
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-07/667827.jpg)
 
 上面两个例题，一个是周期性的，一个是非周期性的。
 
 
 
`例`求矩形脉冲函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |t| \leq a \\ 0, & |t|>a\end{array}(a>0)\right.$ 的 Fourier 变换及 Fourier 积分表达式。

解：（1）
![图片](/uploads/2025-01/eed412.jpg)
$$
\begin{aligned}
F(\omega) & = F [f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t \\
& =\int_{-a}^a e^{-j \omega t} d t=\left.\frac{1}{-j \omega} e^{-j \omega t}\right|_{-a} ^a \\
& =\frac{1}{-j \omega}\left(e^{-j a \omega}-e^{j a \omega}\right) \\
& =\frac{2}{\omega} \cdot \frac{\left(e^{-j a \omega}-e^{j a \omega}\right)}{-2 j}=2 a \frac{\sin a \omega}{a \omega} .
\end{aligned}
$$

（2）振幅谱为 $|F(\omega)|=2 a\left|\frac{\sin a \omega}{a \omega}\right|$
相位谱为 $\arg F(\omega)=\left\{\begin{array}{lr}0, & \frac{2 n \pi}{a} \leq|\omega| \leq \frac{(2 n+1) \pi}{a} \\ \pi, & \frac{(2 n+1) \pi}{a}<|\omega|<\frac{(2 n+2) \pi}{a}\end{array}\right.$

![图片](/uploads/2025-01/b50dd5.jpg)
 
 3）求 Fourier 逆变换，即可得到的 Fourier 积分表达式。

$$
\begin{aligned}
f(t) & = F ^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sin a \omega}{\omega} e^{j \omega t} d \omega \\
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sin a \omega}{\omega} \cos \omega t d \omega+\frac{j}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sin a \omega}{\omega} \sin \omega t d \omega \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin a \omega}{\omega} \cos \omega t d \omega=\left\{\begin{array}{cl}
1, & |t|<a, \\
1 / 2, & |t|=a, \\
0, & |t|>a .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

注 - 在上式中令 $t = 0$ ，可得重要积分公式：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin a x}{x} d x=\pi,(a>0) .
$$

注 - 在上式中令 $t=0$ ，可得重要积分公式：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin a x}{x} d x=\pi,(a>0)
$$

一般地，有

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin a x}{x} d x=\left\{\begin{aligned}
\pi, & a>0 \\
0, & a=0 \\
-\pi, & a<0
\end{aligned}\right.
$$

－特别地，有

$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}
$$

`例` 求单边衰减指数函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll} e ^{-\alpha t}, & t \geq 0, \\ 0, & t<0,\end{array}(\alpha>0)\right.$ 的 Fourier变换，并画出频谱图。
 ![图片](/uploads/2025-01/5aa135.jpg)
 
 解：（1）
$$
\begin{aligned}
F(\omega) & = F [f(t)]=\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} e^{-j \omega t} d t \\
& =\int_0^{+\infty} e^{-(\alpha+j \omega) t} d t \\
& =\left.\frac{1}{-(\alpha+j \omega)} e^{-(\alpha+j \omega) t}\right|_0 ^{+\infty} \\
& =\frac{1}{\alpha+j \omega}=\frac{\alpha-j \omega}{\alpha^2+\omega^2} .
\end{aligned}
$$
 
 （2）振幅谱为 $|F(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+\omega^2}}$ ；相位谱为 $\arg F(\omega)=-\arctan (\omega / \alpha)$ 。
  ![图片](/uploads/2025-01/5955ce.jpg)
  
  
  `例`已知 $f(t)$ 的频谱为 $F(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |\omega| \leq \omega_0 \\ 0, & |\omega|>\omega_0\end{array}\left(\omega_0>0\right)\right.$ ，求 $f(t)$ 
  
  解 $f(t)= F ^{-1}[F(\omega)]$
   ![图片](/uploads/2025-01/dd70c6.jpg)
   
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d \omega=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\omega_0}^{\omega_0} e^{j \omega t} d \omega \\
& =\left.\frac{1}{2 \pi j t} e^{j \omega t}\right|_{-\omega_0} ^{\omega_0}=\frac{1}{\pi t} \cdot \frac{e^{j \omega_0 t}-e^{-j \omega_0 t}}{2 j} \\
& =\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}=\frac{\omega_0}{\pi}\left(\frac{\sin \omega_0 t}{\omega_0 t}\right)=\frac{\omega_0}{\pi} S_a\left(\omega_0 t\right) .
\end{aligned}
$$

`例`已知 $f(t)$ 的频谱为 $F(\omega)=\frac{2}{j \omega}$ ，求 $f(t)$ ．

解 $f(t)= F ^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{j \omega} e ^{j \omega t} d \omega$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{j \sin \omega t}{j \omega} d \omega+\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos \omega t}{j \omega} d \omega \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} d \omega=\left\{\begin{array}{cl}
1, & t>0 \\
0, & t=0 \\
-1, & t<0
\end{array} \text { 记为 } \operatorname{sgn} t .\right.
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/01a90c.jpg)

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