最后更新: 2025-08-04 21:52 查看: 76 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

傅里叶背景3：信号的提取

> 在[上文](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3174)说过，一个函数可以投影到正交三角函数系上，就可以获得该分量上的函数强度，如果把函数看成信号，这句话也可以理解为信号在这个分量上的强度，简称滤波。

转子做周期性旋转时，不平衡质量所产生的周期性惯性离心力会引起转子产生简谐运动。在工程现场测得某一不平衡转子产生的振动加速度信号(记为$ sig$)如下图所示：
  ![图片](/uploads/2025-07/17a528.jpg)
  
 
图中横坐标代表时间，从图中肉眼可以观察到$1s$内振动大约7.4次，即频率大约为 $f=7.4 Hz$ ,（周期为频率的倒数所以周期$T=0.13s$），现在抛出问题，**如何提取该信号周期性信号的的幅值和相位?**
 
 大家首先想到的肯定是：傅里叶变换

傅里叶变换肯定是可以的，但今天讨论的是，假如没有傅里叶变换，该如何解决？本文会给出求解过程并引出信号处理中的重要理论——信号的正交分解和广义傅里叶级数。求解过程如下：

假设由该不平衡量产生的振动加速度波形（记为 $f i t$ ）可以表示为：

$$
f i t=A \cdot \cos (2 \pi f t+\varphi)
$$

则该问题转换为在 $f=7.4 Hz$ 时，寻找一对 $(A, \varphi)$ 使得，fit与上述图中的信号 sig距离 $\phi$ 最小，即

$$
\phi(A, \varphi)=\sum_{j=1}^N(f i t[j]-s i g[j])^2
$$

其中 $N$ 为振动信号 $\operatorname{sig}$ 和 $f i t$ 的点数，为方便计算，对fit进行展开，有
$$
f i t=A \cdot \cos (\varphi) \cdot \cos (2 \pi f t)-A \cdot \sin (\varphi) \cdot \sin (2 \pi f t)
$$

令 $a=A \cdot \cos (\varphi), b=-A \cdot \sin (\varphi), x=\cos (2 \pi f t), y=\sin (2 \pi f t)$ ，则有

$$
f i t=a \cdot x+b \cdot y
$$

因为 $f$ 是确定的，采样时刻序列 $t$ 也是确定的，所以 $x$ 和 $y$ 都是常量序列。则此时 fit与 sig的距离 $\phi$ 可以表示为以 $a, b$ 为变量的表达式：

$$
\phi(a, b)=\sum_{j=1}^N(f i t[j]-\operatorname{sig}[j])^2
$$

将 $f i t=a \cdot x+b \cdot y$ 代入上式，有：

$$
\phi(a, b)=\sum_{j=1}^N(a \cdot x[j]+b \cdot y[j]-s i g[j])^2
$$

将上式完全展开，有：

$$
\begin{gathered}
\phi(a, b)=\sum_{j=1}^N\left(a^2 \cdot x^2[j]+b^2 \cdot y^2[j]+\operatorname{sig}^2[j]+2 a b x[j] y[j]-2 a \cdot x[j] \operatorname{sig}[j]\right. -2 b \cdot y[j] \operatorname{sig}[j])
\end{gathered}
$$

根据连续函数极值定理，在 $\phi$ 最小时，有：

$$
\frac{\partial \dot{\phi}}{\partial a}=\frac{\partial \phi}{\partial b}=0
$$

整理，得到方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\sum_{j=1}^N x^2[j] \cdot a+\sum_{j=1}^N x[j] y[j] \cdot b=\sum_{j=1}^N \operatorname{sig}[j] x[j] \\
\sum_{j=1}^N y[j] x[j] \cdot a+\sum_{j=1}^N y^2[j] \cdot b=\sum_{j=1}^N \operatorname{sig}[j] y[j]
\end{array}\right.
$$

令：

$$
X=\left[\begin{array}{cc}
x[1] & y[1] \\
x[2] & y[2] \\
\cdots & \cdots \\
x[N] & y[N]
\end{array}\right], Y=\left[\begin{array}{c}
\operatorname{sig}[1] \\
\operatorname{sig}[2] \\
\cdots \\
\operatorname{sig}[N]
\end{array}\right], \alpha=[a, b]
$$

则上述方程组可表示为：

$$
X^T X \alpha=X^T Y
$$

进而求得：

$$
\alpha=\left(X^T X\right)^{-1} X^T Y
$$

求得 $\alpha$ 后，便得到了 $a, b$ 的值，进而通过下面的公式得到 $A, \varphi$ 的值：

$$
A=\sqrt{a^2+b^2}, \varphi=-\arctan \frac{b}{a}
$$

至此，问题得到解决，上述方法成功提取到了该信号不平衡成分的幅值和相位。效果见下图所示，

![图片](/uploads/2025-07/dfb864.jpg)
 
 
 这时，有人会问了，你是怎么观测到不平衡分量的频率大约为7.4 Hz的？我看着怎么有点像7.3Hz呢？其实

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