最后更新: 2025-08-02 12:56 查看: 127 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

傅里叶背景2：信号与信号的正交分解

## 信号与信号的正交分解
要想理解信号的正交分解，首先的清楚信号和函数的区别在哪里。一个是$f(x)$，另一个是$f(t)$，从自变量名称就能感受到，为什么时间做自变量就是信号了？

我们讲信号与系统就是要搞清楚两者之间的内涵与联系。在信号与系统中，使用输入输出分析方法。**在数学中，$f(x)$是自变量与因变量的映射关系。$x$与$y$是静态的映射，而信号与系统研究的是一个系统的输入输出，一般而言，这个时间变量$t$实际就暗示着，这个系统的输出不仅与输入相关，还和时间相关，其实就是动态的映射。**

简而言之，如果我们将输出仍然看作$y$，输入看作$x$，那么在某时刻$t_0$，$x$与$y$的映射存在一个$f_{t_0}(x)$。如果在其他时刻这个映射不随时间变化，那么系统函数也不随时间变化，那么信号与系统的$H(t)$，则实际就与$t$无关了。但是，大多数情况都是，在向前或者向后的时刻里，$x$与$y$的映射关系不是之前的$f_{t_0}(x)$，而是一个新的映射关系，那么表示所有随时间变化的$x$与$y$的映射关系，就是系统函数$H$，这也就是为什么，我们必须研究系统的因果或者时不变性。

> 通过上面的解释，希望读者明白，在信号处理的世界里，多使用时间$t$作为变量，在工程里，复数单位使用$j$而不是$i$ ,因此数学上学的欧拉公式 $e^{iz}=cosz +i sin z$ 工程上通常写为 $e^{j \phi}=\cos (\phi)+j \sin (\phi)$

再次延伸一下，$\phi$的物理意义，一个复数$c$可以有四种表达方式

|符号名称|算数表达|说明|
|----|----|----|
|矩形形式 | $c=a+b j$ | 用于解释目的。最容易理解（也称笛卡尔形式）|
|三角函数形式 | $c=M[\cos (\phi)+j \sin (\phi)]$ | 通常用于描述通信系统中的正交信号|
|极坐标形式| $c=M e^{j \phi}$ | 最令人费解，但却是数学中使用的主要形式（也称为指数形式，有时写为 $M \exp (j \phi)$ ）|
|幅度角形式| $c=M \angle \phi$ | 用于描述目的，但在代数方程中使用太麻烦|

参考下图
 ![图片](/uploads/2025-07/234441.jpg){width=300px}
 
可以发现相角或幅角 ϕ 是 虚部/实部 的反正切，即
$$
tan \phi =\frac{虚部}{实部} 
$$

在欧拉公式的证明里，使用幂级数展开推出了欧拉公式，现在再仔细观看一下欧拉公式：我们会发现，第三行中的交替项就是余弦函数和正弦函数的级数展开定义

![图片](/uploads/2025-07/af2b0a.jpg)
 
 这意味着任意一个复数都可以用正弦与余弦叠加形式得到。

## 向量的正交
在理解三角函数系之前，先说一下向量的正交。在二维平面上，有二维笛卡尔坐标系，即$e_1=(1,0),e_2={0,1}$ ，这两个向量互相垂直的充要条件是点积为零，即$e_1 \cdot e_2=1*0+0*1=0$ ，其推导可以参考[向量正交](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=492)
 
这个结论可以推广到三维、四维、一直到$n$维，以三维为例
 $e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)$ 计算他们的内积
 可以发现 $e_1 \cdot e_2=0,e_1 \cdot e_3=0, e_2 \cdot e_3=0$ ，所以 $e_1,e_2,e_3$ 互相垂直，我们把两两互相垂直的向量称为正交向量。
 
对于四维及其以上维度，已经无法画图，但是上面的结论是一样的。
 
>**向量的正交给我们计算向量带来了方便，因为任何一个向量和正交向量做内积，就表示这个向量在该坐标轴上的投影（或者说分量。）**

![图片](/uploads/2025-07/338f1a.jpg){WIDTH=350PX}

参考上图，比如有一个向量$\boldsymbol{a}=[4,3]$,我们要计算他在$\boldsymbol{e_1}$轴上的投影，可以计算 $ a \cdot e_1=[4,3] \cdot [1,0]=4*1+3*0=4$ ，即向量在$x$轴分量为4.

同理，  $ a \cdot e_1=[4,3] \cdot [0,1]=4*0+3*1=3$ ，即向量在$y$轴分量为3.

这样，就把向量$[4,3]$ 分解为了2个向量：水平方向的$[4,0]$ 和   垂直方向上的 $[0,3]$

> **因此，如果计算向量 $a+b$ 只要把他们的分量投影到对应的坐标轴上，然后对应的分量相加，即可得到向量的结果，这种分解的思想，相当于把向量运算转换为了分量上的代数式的加减，非常方便。**

## 三角函数正交系
数学家们从向量的正交分解获得启发，提出了三角函数的正交性。
给你一个集合

$$
\{1, \cos x, \sin x,\cos 2x, \sin 2x, \cos 3x, \sin 3x,\cdots, \cos n x, \sin n x \}
$$
我们称呼这个集合为**三角函数系**。

在这个三角函数系里，任何两个函数沿着 $[-\pi, \pi]$ 积分，都可以得到他们的积分值为零。即

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其他版本
【数学分析】傅里叶级数的引入与正交函数系

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