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复变函数与积分变换
第七篇 傅里叶变换
傅里叶背景1:周期、频率和角频率关系
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2025-08-09 21:21
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傅里叶背景1:周期、频率和角频率关系
周期;频率;角速度;相位
## 周期、频率和角频率关系 ### 周期和频率 想象一个小球沿着圆心做匀速圆周运动。 {width=400px} 如果小球每转动一圈需要$0.5$秒,我们称呼这个$0.5$为小球运动的周期,记做$T$, 即 $$ T=0.5 $$ **由周期定义可知,周期越大,表明旋转一周所需时间越长,反之周期越小,表面旋转一周所需时间越短** 上面这个还有另外一个说法,即:每秒转动$2$圈,我们称呼这个$2$ 为小球运动的频率,记做$f$ 即: $$ f=2 $$ 频率单位为赫兹,记做Hz,通俗理解频率就是转速。**因此频率越大,转速越快,频率越小,转速越慢** 很容易得知周期和频率的关系为: $$ \boxed{ f=\frac{1}{T} } $$ ## 角速度 因为小球运动一圈固定的角度是$2 \pi$, 运动的时间是$T$, 我们就用 $\frac{2 \pi}{T}$ 来表示“角速度”(你可以类比速度),记做$\omega$, 单位为 弧度/秒, 即 $$ \boxed{ \omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi f } $$ 由上式可知,周期、频率和角频率三者之间是相互联系的,如果知道其中一个,便可求得另外两个。 ### 相位 相位表示振动物体当前的状态或位置。它告诉振动物体相对于振动的起始点在何处,相位通常使用$\phi$ 表示。 例如两个相同的单摆,把摆球拉起一定角度。如果摆球A和B同时释放,我们说它们的相位相同;如果A球领先于B球释放,我们说A球的相位领先(或超前)于B球,或者说B球的相位落后于A球 {width=300px} ## 欧拉公式的可视化 在信号处理的世界里,多使用时间$t$作为变量(具体原因下一节[信号的正交分解](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3174)介绍),这里说一下,在工程里,复数单位使用$j$而不是$i$ ,因此数学上学的欧拉公式 $e^{iz}=co
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