最后更新: 2025-10-16 08:14 查看: 867 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量场

## 数量场与向量场
数学研究的函数主要包括两类：
（1）标值函数，即只有大小的函数。
（2）向量函数，同时有大小和方向的函数。
在上一节，介绍了标值函数[数量场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2681) ，本节介绍向量场。因为在高中已经学过向量，下面内容先总结高中向量核心知识点，县级查看 [高中向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=754)

## 向量
具有大小与方向的量叫做**向量**。如果两个向量大小相等，方向相同则称这两个**相等向量**。因为平移不改变向量的大小和方向，所以向量平移是等量平移。 在数学里，默认向量的起点都是坐标原点，因此画出来的向量效果如下：

![图片](/uploads/2025-09/33cacd.jpg){width=200px}

但是，上面这种画法很难表现出空间函数的变化特征，因此利用向量具有“平移”的特征，可以把向量的起点画在坐标点的位置，由此形成下面的向量，这种画法在物理学里大量使用，它能明显的反应各个点的变化特征。

![图片](/uploads/2025-09/a40549.jpg){width=200px}

### 向量空间的分解
**对于向量的处理，其实并没有更好的解决办法，主要处理方法就是按照坐标轴分解**。具体的说，就是给出一个向量，把他分解到$x,y,z$坐标轴，然后按照数量场进行处理。

想象三维空间里的力，如下图：力$\boldsymbol{F}$ 可以沿着$X,Y,Z$坐标轴进行分解， 设力$F$与$x$轴夹角为$\alpha$（图中未画出）, 与$y$轴夹角为$\beta$（图中未画出）,  与$z$轴夹角为$\gamma$ ,同时用$i,j,k$ 分别表示 $x,y,z$轴的单位
 ![图片](/uploads/2025-01/20a58d.svg){width=300px}
 
 这样，就可以得到力$F$在三维空间上的分解的表示方法：
 
 $$
 \boxed{
 {F}= F cos \alpha i + F \cos \beta j +F cos \gamma k
 }
 $$
 这就是空间向量的**代数式表示**方法。
 
 另外一种方法是，写成**坐标形式**，写成尖括号形式
 $$
 \boxed{
 {F}= < F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k >
 }
 $$
 
有时候也直接写成括号
 
 $$
 \boxed{
 {F}= ( F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k )
 }
 $$
 
 这三种仅是一种**约定**的表示向量方法。

### 向量垂直
在高中学过，两个向量$A=(x,y)$ 和$B=(m,n)$ 可以用坐标表示他们的点积，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1342) ,并且得出向量的点积定义为对应坐标相乘后相加，即
 $$
 A \cdot B= xm+yn  ...(1)
$$

又已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，点积的计算为2个向量的模乘以他们之间的夹角

$$
a \cdot b=|a||b| \cos \theta ...(2)
$$

因为(1)(2) 虽然表达方式不同，但是意义一样，因此（1）（2）相等。

即：
$xm+yn= |a||b| \cos \theta  $

现在考虑一种特殊的情况， 向量垂直，此时 $\theta =\frac{\pi}{2}$ ,所以 $ \cos \theta=0$ ,由此得到一个重要结论：

> **两个向量垂直时，内积为零。反之，如果两个向量内积为零，则两向量垂直。**

> **向量内积的几何意义为一个向量在另外一个向量上的投影**

（参考下图）详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=354)。

![](../uploads/2022-10/1fb332.jpg){width=250px}

### 向量平行
 已知 $\vec{a} 、 \vec{b}(\vec{b} \neq \overrightarrow{0})$ 平行的充要条件是存在一个实数 $\lambda$ 使等式,详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=354)
 
$\vec{a}=\lambda \vec{b}$ 成立.

两向量平行通俗解释就是对应向量成比例，例如 $\vec{a}=(1,3,4)$ 而 $\vec{b}=(2,6,8)$ 可以看到后者“系数”是前者的2倍，由此得到一个重要结论：

> **两个向量平行，对应坐标成比例**

### 单位

其他版本
【高等数学】附录3：麦克斯韦方程组【数学分析】数量场和向量场【数学分析】保守场【线性代数】向量单位化

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