最后更新: 2025-08-15 17:11 查看: 86 次反馈同步训练

数量场与等值面

## 数量场与向量场
数学研究的函数主要包括两类：
（1）标值函数，即只有大小的函数。
（2）向量函数，同时有大小和方向的函数。

在物理学里，像质量、功，温度都是只有大小的量叫**标量**。而力，速度，加速度、磁场等既有大小又有方向的量这些量被称作**矢量(向量)**，这些矢量构成的函数叫做“向量函数”。

所谓场，就是一种分布。气压、气温、电位、电场强度、流体密度、速度等由空间位置及时间所确定的物理量，它们在空间或在部分空间上的分布就称为场. 下面以三维空间进行介绍。

## 数量场
若形成场的物理量是数量，则称为数量场，即如果对于空间区域 $G$ 内的任一点 $M$ ，都有一个确定的数量函数 $f(M)$ ，则称在空间区域 $G$ 内确定了一个数量场；一个数量场可用一个数量函数 $f(M)$ 来确定，比如：大气温度的分布、流体 密度的分布都形成数量场；下图显示了函数 $z=f(x,y)$ 在三维空间里的图像

![图片](/uploads/2025-04/e972aa.jpg){width=400px}
 
 ##  等值面
在三维空间里，曲面方程为$z=f(x,y)$  而水平平面方程为$z=c$(c为常数), 用水平平面横向切割空间曲线，因此，可求得**等值线方程** $L:f(x,y)=c$ 即：
$$
\left\{
\begin{array}{c}
z=f(x,y) \\
z=c
\end{array}
\right.
$$
 
 下图显示了空间曲线$z=x e^{-5x^2-8 y^2}$ 的计算机模拟图像
 ![图片](/uploads/2025-04/627466.jpg){width=500px}
 
 其对应的等值线如下图
 
 ![图片](/uploads/2025-04/6d2447.jpg){width=500px}
 
 下图是对上面的动画描述
  ![图片](/uploads/2025-03/3.gif){width=600px}
  
 
  
  
下图显示了地理课程里常见的等值线（也叫等高线）。用一个个水平的平面切割山体，形成了一个数量场。数量场在平面上投影，形成了一个等值线。

![图片](/uploads/2024-12/850c4f.jpg){widht=500px}
  
  
  ## 高斯核函数
 
 > 等值面相当于把三维降维到二维，反之，如果从二维升级到三维，在某些情况下反而容易计算，请看下面高斯核函数，我们会在[拉格朗日极值](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=

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